संकेतों का आयाम और चरण स्पेक्ट्रा। आयामों के स्पेक्ट्रा और आवधिक संकेतों के चरण आयाम फूरियर स्पेक्ट्रम

) हम अवधारणा से परिचित हैं लयबद्ध (sinusoidal) कार्य करता है। वहाँ हैं गैर हार्मोनिककार्य और सिग्नल और उनके साथ कैसे काम करें? आज हमें यही पता लगाना है 🙂

हार्मोनिक और गैर-हार्मोनिक सिग्नल।

और आरंभ करने के लिए, आइए करीब से देखें कि संकेतों को कैसे वर्गीकृत किया जाता है। सबसे पहले, हम हार्मोनिक सिग्नल में रूचि रखते हैं, जिसका आकार एक निश्चित समय अंतराल के बाद दोहराता है, जिसे अवधि कहा जाता है। सामयिकसिग्नल, बदले में, दो बड़े वर्गों में विभाजित होते हैं - हार्मोनिक और गैर-हार्मोनिक। हार्मोनिक सिग्नल एक सिग्नल है जिसे निम्नलिखित फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

यहाँ, संकेत आयाम है, चक्रीय आवृत्ति है, और प्रारंभिक चरण है। तुम पूछते हो - साइन के बारे में क्या? साइनसोइडल सिग्नल हार्मोनिक नहीं है? बेशक, यह है, तथ्य यह है कि, अर्थात्, प्रारंभिक चरण में संकेत क्रमशः भिन्न होते हैं, साइनसॉइडल सिग्नल उस परिभाषा का खंडन नहीं करता है जो हमने हार्मोनिक दोलनों के लिए दिया था 🙂

आवधिक संकेतों का दूसरा उपवर्ग हैं गैर-हार्मोनिक कंपन. यहाँ एक गैर हार्मोनिक संकेत का एक उदाहरण है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, "गैर-मानक" आकार के बावजूद, संकेत आवधिक रहता है, अर्थात, इसका आकार अवधि के बराबर समय अंतराल के बाद दोहराता है।

ऐसे संकेतों के साथ काम करने और उनका अध्ययन करने के लिए एक निश्चित तकनीक है, जिसमें सिग्नल को विघटित करना शामिल है फोरियर श्रेणी. तकनीक का सार यह है कि एक गैर-हार्मोनिक आवधिक संकेत (कुछ शर्तों के तहत) को कुछ आयामों, आवृत्तियों और प्रारंभिक चरणों के साथ हार्मोनिक दोलनों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण सूक्ष्म अंतर यह है कि योग में शामिल सभी हार्मोनिक दोलनों में ऐसी आवृत्तियाँ होनी चाहिए जो मूल गैर-हार्मोनिक सिग्नल की आवृत्ति के गुणक हों। शायद यह अभी पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, तो चलिए एक व्यावहारिक उदाहरण देखते हैं और थोड़ा और समझते हैं 🙂 उदाहरण के लिए, हम उस सिग्नल का उपयोग करते हैं जो ऊपर चित्र में दिखाया गया है। इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

आइए इन सभी संकेतों को एक चार्ट पर प्लॉट करें:

कार्य कहलाते हैं हार्मोनिक्ससिग्नल, और जिसकी अवधि गैर-हार्मोनिक सिग्नल की अवधि के बराबर होती है, कहलाती है पहला या मौलिक हार्मोनिक. इस मामले में, पहला हार्मोनिक एक फ़ंक्शन है (इसकी आवृत्ति क्रमशः अध्ययन किए गए गैर-हार्मोनिक सिग्नल की आवृत्ति के बराबर होती है, और उनकी अवधि समान होती है)। और फ़ंक्शन सिग्नल के दूसरे हार्मोनिक से ज्यादा कुछ नहीं है (इसकी आवृत्ति दोगुनी है)। सामान्य तौर पर, एक गैर-हार्मोनिक सिग्नल अनंत संख्या में हार्मोनिक्स में विघटित होता है:

इस सूत्र में, आयाम है, और kवें हार्मोनिक का प्रारंभिक चरण है। जैसा कि हमने थोड़ा पहले उल्लेख किया है, सभी हार्मोनिक्स की आवृत्ति पहले हार्मोनिक की आवृत्ति के गुणक हैं, वास्तव में, हम इस सूत्र में यही देखते हैं 🙂 - यह शून्य हार्मोनिक है, इसकी आवृत्ति 0 है, यह बराबर है अवधि के दौरान समारोह का औसत मूल्य। औसत क्यों? देखिए - अवधि के लिए साइन फ़ंक्शन का औसत मान 0 है, जिसका अर्थ है कि इस सूत्र में औसत होने पर, उनके अलावा सभी शब्द 0 के बराबर होंगे।

एक गैर-हार्मोनिक सिग्नल के सभी हार्मोनिक घटकों की समग्रता को कहा जाता है स्पेक्ट्रमयह संकेत। सिग्नल के चरण और आयाम स्पेक्ट्रम हैं:

• सिग्नल का चरण स्पेक्ट्रम - सभी हार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरणों का एक सेट
• सिग्नल का आयाम स्पेक्ट्रम - गैर-हार्मोनिक सिग्नल बनाने वाले सभी हार्मोनिक्स के आयाम

आइए आयाम स्पेक्ट्रम को अधिक विस्तार से देखें। स्पेक्ट्रम की एक दृश्य छवि के लिए, आरेखों का उपयोग किया जाता है, जो एक निश्चित लंबाई की ऊर्ध्वाधर रेखाओं का एक समूह होता है (लंबाई संकेतों के आयाम पर निर्भर करती है)। आरेख के क्षैतिज अक्ष पर हार्मोनिक आवृत्तियों को प्लॉट किया जाता है:

क्षैतिज अक्ष पर, हर्ट्ज में दोनों आवृत्तियों, और हार्मोनिक्स की संख्या, जैसा कि इस मामले में है, को प्लॉट किया जा सकता है। और ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ - हार्मोनिक्स के आयाम, यहाँ सब कुछ स्पष्ट है :)। आइए गैर-हार्मोनिक दोलन के लिए सिग्नल के आयाम स्पेक्ट्रम का निर्माण करें, जिसे हमने लेख की शुरुआत में एक उदाहरण के रूप में माना था। मैं आपको याद दिलाता हूं कि फूरियर श्रृंखला में इसका विस्तार इस प्रकार है:

हमारे पास दो हार्मोनिक्स हैं जिनके आयाम क्रमशः 2 और 1.5 हैं। इसलिए, आरेख में दो रेखाएँ हैं, जिनमें से लंबाई हार्मोनिक दोलनों के आयाम के अनुरूप हैं।

सिग्नल का चरण स्पेक्ट्रम इसी तरह से बनाया गया है, केवल अंतर के साथ कि हार्मोनिक्स के शुरुआती चरणों का उपयोग किया जाता है, न कि एम्पलीट्यूड।

इसलिए, हमने सिग्नल के आयाम स्पेक्ट्रम के निर्माण और विश्लेषण का पता लगाया, आइए आज के लेख के अगले विषय पर चलते हैं - आयाम-आवृत्ति प्रतिक्रिया की अवधारणा।

आयाम-आवृत्ति विशेषता (एएफसी)।

आवृत्ति प्रतिक्रिया कई सर्किट और उपकरणों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता है - फिल्टर, ध्वनि एम्पलीफायर, आदि। यहां तक ​​​​कि साधारण हेडफ़ोन की अपनी आवृत्ति प्रतिक्रिया होती है। वह क्या दिखाती है?

फ़्रीक्वेंसी रिस्पांस इनपुट सिग्नल की फ़्रीक्वेंसी पर आउटपुट सिग्नल के आयाम की निर्भरता है।

जैसा कि हमने लेख के पहले भाग में पाया, एक गैर-हार्मोनिक आवधिक संकेत को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। लेकिन अब हम मुख्य रूप से ऑडियो सिग्नल में रुचि रखते हैं, और यह इस तरह दिखता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां किसी भी आवधिकता का कोई सवाल ही नहीं है 🙂 लेकिन, सौभाग्य से, विशेष एल्गोरिदम हैं जो आपको इसमें शामिल आवृत्तियों के स्पेक्ट्रम के रूप में एक ऑडियो सिग्नल का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देते हैं। हम अब इन एल्गोरिदम का विस्तार से विश्लेषण नहीं करेंगे, यह एक अलग लेख का विषय है, हम केवल इस तथ्य को स्वीकार करेंगे कि वे हमें ऑडियो सिग्नल के साथ ऐसा रूपांतरण करने की अनुमति देते हैं 🙂

तदनुसार, हम ऑडियो सिग्नल के आयाम स्पेक्ट्रम को प्लॉट कर सकते हैं। और किसी भी सर्किट से गुजरते हुए (उदाहरण के लिए, ध्वनि बजाते समय हेडफ़ोन के माध्यम से), सिग्नल बदल जाएगा। तो आयाम-आवृत्ति विशेषता केवल यह दिखाती है कि किसी विशेष सर्किट से गुजरने पर इनपुट सिग्नल में क्या बदलाव आएगा। आइए इस बिंदु पर थोड़ी और चर्चा करें ...

इसलिए, इनपुट पर हमारे पास कई हार्मोनिक्स हैं। आयाम-आवृत्ति विशेषता से पता चलता है कि सर्किट से गुजरने पर किसी विशेष हार्मोनिक का आयाम कैसे बदल जाएगा। आवृत्ति प्रतिक्रिया के एक उदाहरण पर विचार करें:

आइए इसे चरण दर चरण समझें कि यहां क्या दिखाया गया है ... आइए आवृत्ति प्रतिक्रिया ग्राफ के अक्षों से शुरू करें। वाई-अक्ष पर, हम आउटपुट वोल्टेज (या लाभ, जैसा कि इस आंकड़े में है) का मान प्लॉट करते हैं। हम लाभ कारक को क्रमशः dB में सेट करते हैं, 0 dB के बराबर मान 1 के लाभ से मेल खाता है, अर्थात सिग्नल आयाम अपरिवर्तित रहता है। एक्स-अक्ष इनपुट सिग्नल की आवृत्तियों को प्लॉट करता है। इस प्रकार, विचाराधीन मामले में, सभी हार्मोनिक्स के लिए जिनकी आवृत्ति 100 से 10000 हर्ट्ज की सीमा में होती है, आयाम नहीं बदलेगा। और अन्य सभी हार्मोनिक्स के संकेतों को क्षीण कर दिया जाएगा।

आवृत्तियों और ग्राफ पर अलग से चिह्नित हैं - उनकी विशिष्ट विशेषता यह है कि इन आवृत्तियों के हार्मोनिक्स का संकेत वोल्टेज में 1.41 गुना (3 डीबी) द्वारा क्षीण हो जाएगा, जो कि शक्ति में 2 गुना कमी के अनुरूप है। और के बीच की आवृत्ति बैंड को पासबैंड कहा जाता है। यह निम्नलिखित स्थिति का पता लगाता है - सभी हार्मोनिक्स के संकेत, जिनमें से आवृत्तियों डिवाइस / सर्किट की बैंडविड्थ के भीतर होती हैं, बिजली में 2 गुना से भी कम समय तक क्षीण हो जाएंगी।

ऑडियो उपकरणों की आवृत्ति रेंज आमतौर पर कम, मध्यम और उच्च आवृत्तियों में विभाजित होती है। लगभग ऐसा दिखता है:

• 20 हर्ट्ज - 160 हर्ट्ज - कम आवृत्ति क्षेत्र
• 160 हर्ट्ज - 1.28 किलोहर्ट्ज़ - मिडरेंज
• 1.28 kHz - 20.5 kHz - उच्च आवृत्ति क्षेत्र

यह शब्दावली आमतौर पर ध्वनि को समायोजित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विभिन्न तुल्यकारक कार्यक्रमों में पाई जा सकती है। अब आप जानते हैं कि इस तरह के कार्यक्रमों के सुंदर रेखांकन ठीक-ठीक आयाम-आवृत्ति विशेषताएँ हैं जो हमें आज के लेख में मिले थे 🙂

लेख के अंत में, आइए एक सॉफ्टवेयर इक्वलाइज़र में प्राप्त आवृत्ति प्रतिक्रियाओं के एक जोड़े को देखें:

यहां हम एम्पलीफायर की आवृत्ति प्रतिक्रिया देख सकते हैं। इसके अलावा, मध्य-श्रेणी की आवृत्तियों को मुख्य रूप से बढ़ाया जाएगा।

लेकिन यहां स्थिति पूरी तरह से अलग है - कम और उच्च आवृत्तियों को बढ़ाया जाता है, और मध्य-आवृत्ति क्षेत्र में 500 हर्ट्ज की आवृत्ति वाले हार्मोनिक्स के लिए, हम एक महत्वपूर्ण क्षीणन देखते हैं।

और यहाँ केवल कम आवृत्तियों को बढ़ाया जाता है। ऐसी आवृत्ति प्रतिक्रिया वाले ऑडियो उपकरण में उच्च स्तर का बास 🙂 होगा

यह हमारे आज के लेख का समापन करता है, आपके ध्यान के लिए धन्यवाद और हम अपनी वेबसाइट पर फिर से आपका इंतजार कर रहे हैं!

2.1। आवधिक संकेतों का स्पेक्ट्रा

एक आवधिक संकेत (वर्तमान या वोल्टेज) इस प्रकार का प्रभाव कहलाता है जब तरंग एक निश्चित समय अंतराल के बाद दोहराता है टीजिसे काल कहा जाता है। आवधिक संकेत का सबसे सरल रूप एक हार्मोनिक संकेत या साइन तरंग है, जो आयाम, अवधि और प्रारंभिक चरण की विशेषता है। अन्य सभी सिग्नल होंगे बेसुराया गैर sinusoidal. यह दिखाया जा सकता है, और अभ्यास इसे साबित करता है, कि यदि बिजली आपूर्ति का इनपुट संकेत आवधिक है, तो प्रत्येक शाखा (आउटपुट सिग्नल) में अन्य सभी धाराएं और वोल्टेज भी आवधिक होंगे। इस मामले में, विभिन्न शाखाओं में तरंग एक दूसरे से भिन्न होंगे।

एक विद्युत सर्किट में आवधिक गैर-हार्मोनिक संकेतों (इनपुट क्रियाओं और उनकी प्रतिक्रियाओं) का अध्ययन करने के लिए एक सामान्य तकनीक है, जो फूरियर श्रृंखला में संकेतों के अपघटन पर आधारित है। इस तकनीक में इस तथ्य को समाहित किया गया है कि इस तरह के आयाम, आवृत्तियों और प्रारंभिक चरणों के साथ कई हार्मोनिक (यानी साइनसोइडल) संकेतों का चयन करना हमेशा संभव होता है, किसी भी समय के निर्देशांक का बीजगणितीय योग अध्ययन के समन्वय के बराबर होता है। गैर साइनसोइडल संकेत। तो, उदाहरण के लिए, वोल्टेज यूअंजीर में। 2.1। तनावों के योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है तथा , चूंकि किसी भी समय समान समानता होती है: . प्रत्येक शब्द एक साइनसॉइड है, जिसकी दोलन आवृत्ति अवधि से संबंधित है टीपूर्णांक अनुपात।

विचाराधीन उदाहरण के लिए, हमारे पास गैर-हार्मोनिक सिग्नल की अवधि के साथ मेल खाने वाले पहले हार्मोनिक की अवधि हैटी 1 = टी, और दूसरे हार्मोनिक की अवधि दो गुना छोटी हैटी 2 = टी/2, अर्थात हार्मोनिक्स के तात्कालिक मूल्यों को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

यहाँ, हार्मोनिक दोलनों के आयाम एक दूसरे के बराबर हैं ( ), और प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हैं।

चावल। 2.1। पहले और दूसरे हार्मोनिक्स के जोड़ का उदाहरण

गैर हार्मोनिक संकेत

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, एक हार्मोनिक घटक जिसकी अवधि एक गैर-हार्मोनिक सिग्नल की अवधि के बराबर होती है, कहलाती है पहलाया बुनियादीसिग्नल हार्मोनिक्स। अन्य सभी घटकों को उच्च हार्मोनिक घटक कहा जाता है। एक हार्मोनिक जिसकी आवृत्ति पहले हार्मोनिक से k गुना अधिक है (और अवधि, क्रमशः, k गुना कम) कहलाती है

के - वें हार्मोनिक। अवधि के लिए फ़ंक्शन का औसत मान भी आवंटित करें, जिसे कहा जाता है व्यर्थहारमोनिका। सामान्य मामले में, फूरियर श्रृंखला को विभिन्न आवृत्तियों के हार्मोनिक घटकों की अनंत संख्या के योग के रूप में लिखा जाता है:

(2.1)

जहाँ k हार्मोनिक संख्या है; - के - वें हार्मोनिक की कोणीय आवृत्ति;

ω 1 \u003d ω \u003d 2 π / टी- पहले हार्मोनिक की कोणीय आवृत्ति; - शून्य हार्मोनिक।

आमतौर पर होने वाली तरंगों के लिए, विशेष साहित्य में एक फूरियर श्रृंखला विस्तार पाया जा सकता है। तालिका 2 आठ तरंगों के प्रसार को दर्शाती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तालिका 2 में दिए गए विस्तार तब होंगे जब समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को चुना गया है जैसा कि बाईं ओर के आंकड़ों में दिखाया गया है; समय की उत्पत्ति बदलते समय टीहार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरण बदल जाएंगे, जबकि हार्मोनिक्स के आयाम समान रहेंगे। अध्ययन के तहत संकेत के प्रकार के आधार पर, V को या तो वोल्ट में मापा गया मान समझा जाना चाहिए यदि यह एक वोल्टेज संकेत है, या एम्पीयर में मापा गया मान यदि यह एक वर्तमान संकेत है।

आवधिक कार्यों का फूरियर श्रृंखला विस्तार

तालिका 2

अनुसूची एफ(टी)	कार्यों की फूरियर श्रृंखलाएफ(टी)	टिप्पणी
		के = 1,3,5,...
		के = 1,3,5,...
		के = 1,3,5,...
		के = 1,2,3,4,5
		के = 1,3,5,...
		के = 1,2,3,4,5
		एस = 1,2,3,4,..
		के = 1,2,4,6,..

सिग्नल 7 और 8 गेट सर्किट द्वारा साइनसॉइड से उत्पन्न होते हैं।

गैर-साइनसॉइडल सिग्नल बनाने वाले हार्मोनिक घटकों के सेट को इस गैर-हार्मोनिक सिग्नल का स्पेक्ट्रम कहा जाता है। हार्मोनिक्स के इस सेट से, वे भेद और भेद करते हैं आयामऔर अवस्थाश्रेणी। आयाम स्पेक्ट्रम सभी हार्मोनिक्स के आयामों का एक सेट है, जिसे आमतौर पर ऊर्ध्वाधर रेखाओं के एक सेट के रूप में आरेख द्वारा दर्शाया जाता है, जिनमें से लंबाई आनुपातिक (चुने हुए पैमाने में) हार्मोनिक के आयाम मूल्यों के लिए होती है। घटक, और क्षैतिज अक्ष पर स्थान इस घटक की आवृत्ति (हार्मोनिक संख्या) द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसी प्रकार, चरण स्पेक्ट्रा को सभी हार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरण के सेट के रूप में माना जाता है; उन्हें लंबवत रेखाओं के एक सेट के रूप में स्केल करने के लिए भी दिखाया गया है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह -180 0 से +180 0 की सीमा में इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में प्रारंभिक चरणों को मापने के लिए प्रथागत है। अलग-अलग रेखाओं से मिलकर बने स्पेक्ट्रा कहलाते हैं पंक्तिबद्ध या असतत. की दूरी पर वर्णक्रमीय रेखाएँ हैं एफअलग, कहाँ एफ- आवृत्ति अंतराल पहले हार्मोनिक की आवृत्ति के बराबर एफइस प्रकार, आवधिक संकेतों के असतत स्पेक्ट्रा में कई आवृत्तियों वाले वर्णक्रमीय घटक होते हैं - एफ, 2एफ, 3एफ, 4एफ, 5एफवगैरह।

उदाहरण 2.1।एक आयताकार संकेत के लिए आयाम और चरण स्पेक्ट्रम का पता लगाएं, जब सकारात्मक और नकारात्मक संकेतों की अवधि बराबर होती है, और अवधि के दौरान फ़ंक्शन का औसत मान शून्य होता है

यू(टी) = वैट 0<टी<टी/2

यू(टी) = -वैट टी/2<टी<टी

सरल, अक्सर उपयोग किए जाने वाले रूपों के संकेतों के लिए, तालिकाओं का उपयोग करके समाधान खोजने की सलाह दी जाती है।

चावल। 2.2। एक आयताकार सिग्नल का रैखिक आयाम स्पेक्ट्रम

एक आयताकार सिग्नल के फूरियर विस्तार से (टेबल्स 2 - 1 देखें), यह इस प्रकार है कि हार्मोनिक श्रृंखला में केवल अजीब हार्मोनिक्स होते हैं, जबकि हार्मोनिक्स के आयाम हार्मोनिक की संख्या के अनुपात में घटते हैं। हार्मोनिक्स का आयाम रेखा स्पेक्ट्रम अंजीर में दिखाया गया है। 2.2। निर्माण करते समय, यह माना जाता है कि पहले हार्मोनिक (यहां वोल्टेज) का आयाम एक वोल्ट के बराबर है: बी; तो तीसरे हार्मोनिक का आयाम बी, पांचवां - बी, आदि के बराबर होगा। सिग्नल के सभी हार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हैं, इसलिए, चरण स्पेक्ट्रम में निर्देशांक के केवल शून्य मान हैं।

समस्या हल हो गई।

उदाहरण 2.2।वोल्टेज के लिए आयाम और चरण स्पेक्ट्रम खोजें जो कानून के अनुसार बदलता रहता है: पर - टी/4<टी<टी/4; यू(टी) = 0 के लिए टी/4<टी<3/4टी. हार्मोनिक सिग्नल के नकारात्मक हिस्से को (वाल्व तत्वों का उपयोग करके सर्किट्री द्वारा) समाप्त करके एक साइनसॉइड से ऐसा संकेत बनाया जाता है।

क) ख)

चावल। 2.3। हाफ-वेव रेक्टिफिकेशन सिग्नल का लाइन स्पेक्ट्रम: ए) आयाम; बी) चरण

एक साइनसोइडल वोल्टेज के आधे-लहर सुधार संकेत के लिए (टेबल्स 2 - 8 देखें), फूरियर श्रृंखला में एक स्थिर घटक (शून्य हार्मोनिक), पहला हार्मोनिक, और फिर केवल हार्मोनिक्स का एक सेट होता है, जिसके आयाम तेजी से घटते हैं बढ़ती हार्मोनिक संख्या के साथ। यदि, उदाहरण के लिए, हम मान V = 100 B रखते हैं, तो प्रत्येक पद को उभयनिष्ठ गुणनखंड 2V/π से गुणा करने पर, हम पाते हैं(2.2)

इस सिग्नल का आयाम और चरण स्पेक्ट्रा चित्र 2.3ए, बी में दिखाया गया है।

समस्या हल हो गई।

फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत के अनुसार, हार्मोनिक्स के योग के लिए एक गैर-हार्मोनिक सिग्नल की सटीक समानता केवल असीम रूप से बड़ी संख्या में हार्मोनिक्स के लिए होती है। कंप्यूटर पर हार्मोनिक घटकों की गणना आपको किसी भी संख्या में हार्मोनिक्स का विश्लेषण करने की अनुमति देती है, जो गणना के उद्देश्य, सटीकता और गैर-हार्मोनिक प्रभावों के रूप से निर्धारित होती है। यदि सिग्नल की अवधिटी इसके आकार की परवाह किए बिना, बहुत कम अवधि टी, तब हार्मोनिक्स का आयाम धीरे-धीरे कम हो जाएगा, और सिग्नल के अधिक पूर्ण विवरण के लिए, श्रृंखला में बड़ी संख्या में शर्तों को ध्यान में रखना आवश्यक है। इस सुविधा को टेबल्स 2 - 5 और 6 में प्रस्तुत संकेतों के लिए पता लगाया जा सकता है, बशर्ते कि स्थिति τ <<टी. यदि एक गैर-हार्मोनिक संकेत आकार में एक साइनसॉइड के करीब है (उदाहरण के लिए, तालिका 2 में संकेत 2 और 3), तो हार्मोनिक्स तेजी से घटते हैं, और संकेत के सटीक विवरण के लिए, यह खुद को तीन तक सीमित करने के लिए पर्याप्त है श्रृंखला के पांच हार्मोनिक्स।

त्रिकोणमितीय रूप में फूरियर श्रृंखला (4.10) बनाने वाले हार्मोनिक्स के सेट को कहा जाता है एक आवधिक संकेत का स्पेक्ट्रम, और आयाम के सेट यूएमक और इन हार्मोनिक्स के प्रारंभिक चरण - स्पेक्ट्रा आयाम और चरण. प्रत्येक हारमोनिका:

दो लंबवत रेखाओं के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, एक आवृत्ति अक्ष पर, इस हार्मोनिक की आवृत्ति के मान को प्लॉट करना और हार्मोनिक के आयाम के बराबर ऊँचाई के साथ एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचना आवश्यक है, फिर उसी की आवृत्ति पर दूसरी आवृत्ति अक्ष पर हार्मोनिक, हार्मोनिक के प्रारंभिक चरण की ऊंचाई के बराबर दूसरी लंबवत रेखा खींचें।

फूरियर श्रृंखला (4.3) को फिर से लिखा जा सकता है

दिया गया है कि कोसाइन फ़ंक्शन एक अवधि के साथ आवधिक है 2 = 360°, अर्थात इसके मान 360 डिग्री के माध्यम से दोहराते हैं, आप हार्मोनिक घटकों के चरण से पूर्णांक संख्या की अवधि घटा सकते हैं। फिर हम श्रृंखला का एक और रूप प्राप्त करते हैं (4.3):

इन श्रृंखलाओं को रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस संकेत के हार्मोनिक्स, जो सूत्र (4.3) में शामिल हैं, अंजीर में समय आरेख में दिखाए गए हैं। 4.1, बी-डी।अंजीर में संकेत के लिए फूरियर श्रृंखला के घटकों को रेखांकन करने का एक और तरीका। 4.1, लेकिन अंजीर में दिखाया गया है। 4.5, ए–वीहार्मोनिक्स के आयाम कानून के अनुसार घटते हैं , कहाँ पीहार्मोनिक की संख्या है, और हार्मोनिक्स के चरण कानून के अनुसार बदलते हैं एनपहले हार्मोनिक का चरण कहां है।

अवधि के एक चौथाई द्वारा स्थानांतरित आयताकार दालों के आवधिक अनुक्रम के लिए (चित्र। 4.3, ए) फूरियर श्रृंखला (4.6) के सूत्र को संशोधित किया जा सकता है यदि हम याद रखें कि हार्मोनिक दोलन के सामने ऋण चिह्न का अर्थ है 180 ° द्वारा चरण में दोलन का घूर्णन:

चावल। 4.5। सिग्नल हार्मोनिक्स के आयाम और चरण (4.12) और (4.13)

श्रृंखला (4.14) में दोलनों के प्रारंभिक चरण वैकल्पिक रूप से मान 0 और 180 ° पर ले जाते हैं। श्रृंखला (4.14) का ग्राफिक प्रतिनिधित्व अंजीर में दिया गया है। 4.5, ए और बी।

अंजीर में खड़ी रेखाएँ। 4.5 और 4.6 नाम दिए गए थे वर्णक्रमीय रेखाएँ, और इन पंक्तियों के समुच्चय, या, जो समान है, (4.10) में चरण हार्मोनिक्स के आयाम के समुच्चय, रूप आयाम और चरण स्पेक्ट्रायह संकेत।

चावल। 4.6। सिग्नल हार्मोनिक्स के आयाम और चरण (4.14)

रेडियो इंजीनियर उपकरणों से परिचित हैं - स्पेक्ट्रम विश्लेषक जो प्रत्येक हार्मोनिक का जवाब देते हैं जो जटिल आकार के सिग्नल का हिस्सा है और उन्हें मापने की अनुमति देता है।

इस प्रकार, आयाम स्पेक्ट्रम हार्मोनिक आयामों का एक सेट है , , , ... (स्थिर और मुख्य घटकों सहित), त्रिकोणमितीय रूप (4.10) में लिखी गई फूरियर श्रृंखला में शामिल है, और चरण स्पेक्ट्रम प्रारंभिक चरणों का एक सेट है, ... इन हार्मोनिक्स का। (4.12) से जटिल आयाम सिग्नल के जटिल स्पेक्ट्रम का निर्माण करते हैं यू(टी).

आवधिक संकेतों की वर्णक्रमीय (हार्मोनिक) संरचना का विश्लेषण फूरियर श्रृंखला के हार्मोनिक घटकों के आयाम और प्रारंभिक चरणों की गणना है। आमतौर पर, इन मात्राओं की गणना करने के लिए, फूरियर श्रृंखला (4.2) के रूप का उपयोग किया जाता है:

आइए हम दिखाते हैं कि अंकन (4.15) के बराबर हैअंकन (4.7)।

उपरोक्त तर्क से यह पता चलता है कि सिग्नल की वर्णक्रमीय संरचना का विश्लेषण करने के लिए, यह जानना पर्याप्त है कि मात्राओं की गणना कैसे करें , यू" एम.एन.और यू’ एम.एन.अभिव्यक्ति में (4.15)।

सूत्र (4.2) से हम जानते हैं कि श्रृंखला के निरंतर घटक की गणना फ़ंक्शन के औसत मान के रूप में की जाती है:

कठिनाइयाँ यू" एमके और यू"" एमके वजन कॉस के साथ भारित औसत के रूप में गणना की जाती है कऔर पाप, क्रमशः:

क्योंकि, वह

यूलर सूत्र को लागू करना

हम अंत में सिग्नल के जटिल स्पेक्ट्रम के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

सिग्नल का स्पेक्ट्रम न केवल सिग्नल के आकार से प्रभावित होता है, बल्कि इसके पैरामीटर से भी प्रभावित होता है। इस आशय को एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करना सबसे अच्छा है, और सबसे आसान तरीका आयताकार दालों के आवधिक अनुक्रम के उदाहरण पर है। काफी सामान्य मामले में, यह क्रम अंजीर में दिखाया गया है। 4.7, एक।नाड़ी पुनरावृत्ति अवधि इंगित की गई है टी",और दालों की अवधि के अनुपात को "कर्तव्य चक्र कहा जाता है और निरूपित करें।

सूत्र (4.16) - (4.18) का उपयोग करके त्रिकोणमितीय रूप में फूरियर श्रृंखला के गुणांक की गणना हमें लिखने की ओर ले जाती है (तालिका 4.1 देखें)

कहाँ यू 0 =यू/ क्यू और

चावल। 4.7। कर्तव्य चक्र के साथ आयताकार दालों का आवधिक क्रम क्यू= 3 और इसका स्पेक्ट्रम

कर्तव्य चक्र के साथ ऐसे आवधिक अनुक्रम का आयाम स्पेक्ट्रम क्यू= 3 चित्र में दिखाया गया है। 4.7, बी।

मूल्यों के लिए क, कर्तव्य चक्र के गुणक क्यू स्पंद अनुक्रम, फ़ंक्शन शून्य मान लेता है और इन संख्याओं के साथ हार्मोनिक्स में शून्य आयाम होते हैं (हमारे उदाहरण में क= 3.6, 9, ...). पहले हार्मोनिक की आवृत्ति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

संख्या के साथ हार्मोनिका के लिए क, जिसके लिए आयाम सकारात्मक है, चरण कोण शून्य के बराबर है; हार्मोनिकस के लिए संख्याओं के साथ ही क, जिसके लिए मान ऋणात्मक हो जाता है, चरण कोण 180 ° (चित्र। 4.7, c) का मान लेता है।

आइए पल्स की अवधि और अवधि जैसे मापदंडों के आयताकार दालों के अनुक्रम के स्पेक्ट्रम पर प्रभाव पर विचार करें।

सबसे पहले, मौलिक हार्मोनिक की आवृत्ति अवधि के मूल्य पर निर्भर करती है, अर्थात। स्पेक्ट्रम पर इसका स्थान। यदि हम, उदाहरण के लिए, स्पंद अनुक्रम की अवधि बढ़ाते हैं (चित्र 4.7, ए), तो पहले हार्मोनिक की आवृत्ति कम हो जाएगी।

इससे वर्णक्रमीय रेखाएँ मोटी हो जाएँगी (चित्र 4.8)। बीऔर वी). बढ़ती अवधि के साथ दालों का कर्तव्य चक्र भी बढ़ेगा (हमारे उदाहरण में क्यू= 5), इसलिए, उच्च संख्या वाले हार्मोनिक्स जो गुणक हैं क्यू (क= 5, 10, 15, ...). सभी हार्मोनिक्स के आयाम घटेंगे।

चावल। 4.8। कर्तव्य चक्र के साथ आयताकार दालों का एक क्रम क्यू= 5 और इसका स्पेक्ट्रम

दूसरी ओर, यदि अनुक्रम अवधि को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है (उदाहरण के लिए, ), और पल्स अवधि, मान लीजिए, कम हो जाती है (उदाहरण के लिए, मूल्य के लिए , अंजीर में के रूप में। 4.9 ए), तो पहला हार्मोनिक सिग्नल स्पेक्ट्रम में अपना स्थान नहीं बदलेगा। कर्तव्य चक्र में वृद्धि के साथ, पहले की तरह, संख्या के गुणक वाले हार्मोनिक्स क्यू (चित्र 4.8 में, बीपर क= 5,10,15,… ).

चावल। 4.9। सिग्नल स्पेक्ट्रम पर पल्स अवधि का प्रभाव

चावल। 4.10। पल्स अवधि का प्रभाव और सिग्नल स्पेक्ट्रम पर उनकी पुनरावृत्ति अवधि

अंजीर पर। 4.10, मामला दिखाया गया है जब नाड़ी की अवधि और अवधि दोनों को बदल दिया गया है। हम पाठकों को इस स्थिति का स्वयं विश्लेषण करने के लिए आमंत्रित करते हैं। आवधिक संकेतों की गणना के लिए समस्याओं को हल करने के उदाहरण भी में दिए गए हैं।

यद्यपि हमने विशेष उदाहरणों का विश्लेषण किया है, स्पेक्ट्रम के विशिष्ट व्यवहार को अन्य प्रकार के आवधिक नाड़ी अनुक्रमों के लिए भी देखा जाता है। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं:

जैसे-जैसे अनुक्रम की अवधि बढ़ती है टीपहले हार्मोनिक की आवृत्ति कम हो जाती है और वर्णक्रमीय रेखाएँ मोटी हो जाती हैं; इसके विपरीत, जैसे-जैसे अवधि घटती है, पहले हार्मोनिक की आवृत्ति बढ़ जाती है और वर्णक्रमीय रेखाएँ विरल हो जाती हैं;

अनुक्रम में दालें जितनी छोटी होती हैं, बढ़ती संख्या के साथ उतनी ही धीमी होती जाती हैं पीहार्मोनिक्स के आयाम; इसके विपरीत, स्पंद जितने व्यापक होते हैं, उच्च हार्मोनिक्स के आयाम उतनी ही तेजी से घटते हैं।

सामग्री के मुख्य प्रावधान पैरा 4.2 में निर्धारित किए गए हैं।

संकेत कहा जाता है नियत कालीन, यदि इसका रूप समय में चक्रीय रूप से दोहराया जाता है। एक आवधिक संकेत आम तौर पर निम्नानुसार लिखा जाता है:

यहाँ संकेत की अवधि है। आवधिक संकेत सरल और जटिल दोनों हो सकते हैं।

एक अवधि के साथ आवधिक संकेतों के गणितीय प्रतिनिधित्व के लिए, इस श्रृंखला का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसमें कई आवृत्तियों के हार्मोनिक (साइनसोइडल और कोसाइन) दोलनों को आधार कार्यों के रूप में चुना जाता है:

कहाँ । - कार्यों के अनुक्रम की मौलिक कोणीय आवृत्ति। हार्मोनिक आधार कार्यों के साथ, इस श्रृंखला से हम एक फूरियर श्रृंखला प्राप्त करते हैं, जिसे सरलतम मामले में निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

जहां गुणांक

यह फूरियर श्रृंखला से देखा जा सकता है कि, सामान्य स्थिति में, एक आवधिक संकेत में एक स्थिर घटक और मौलिक आवृत्ति के हार्मोनिक दोलनों का एक सेट और आवृत्तियों के साथ इसके हार्मोनिक्स होते हैं। फूरियर श्रृंखला के प्रत्येक हार्मोनिक दोलन की विशेषता आयाम और प्रारंभिक चरण है।

स्पेक्ट्रल आरेख और एक आवधिक संकेत का स्पेक्ट्रम.

यदि किसी संकेत को विभिन्न आवृत्तियों के हार्मोनिक दोलनों के योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो इसका मतलब है कि वर्णक्रमीय अपघटन संकेत।

स्पेक्ट्रल आरेखसिग्नल को इस सिग्नल की फूरियर श्रृंखला के गुणांकों का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व कहा जाता है। आयाम और चरण आरेख हैं। इन आरेखों को बनाने के लिए, एक निश्चित पैमाने पर, क्षैतिज अक्ष के साथ हार्मोनिक आवृत्तियों को प्लॉट किया जाता है, और उनके आयाम और चरणों को ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। इसके अलावा, हार्मोनिक्स के आयाम केवल सकारात्मक मान ले सकते हैं, चरण - अंतराल में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान।

एक आवधिक संकेत के वर्णक्रमीय आरेख:

ए) - आयाम; बी) - चरण।

सिग्नल स्पेक्ट्रम- यह आवृत्ति, आयाम और प्रारंभिक चरणों के विशिष्ट मूल्यों के साथ हार्मोनिक घटकों का एक सेट है, जो कुल मिलाकर एक संकेत बनाता है। व्यवहार में, वर्णक्रमीय आरेखों को और संक्षेप में कहा जाता है - आयाम स्पेक्ट्रम, चरण स्पेक्ट्रम. आयाम वर्णक्रमीय आरेख में सबसे बड़ी रुचि दिखाई गई है। इसका उपयोग स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक्स के प्रतिशत का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है।

दूरसंचार प्रौद्योगिकी में वर्णक्रमीय विशेषताएं एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। सिग्नल के स्पेक्ट्रम को जानने के बाद, आप एम्पलीफायरों, फिल्टर, केबल और संचार चैनलों के अन्य नोड्स की बैंडविड्थ की सही गणना और सेट कर सकते हैं। चैनलों के फ्रीक्वेंसी डिवीजन के साथ मल्टीचैनल सिस्टम बनाने के लिए सिग्नल स्पेक्ट्रा का ज्ञान आवश्यक है। इंटरफेरेंस स्पेक्ट्रम को जाने बिना इसे दबाने के उपाय करना मुश्किल है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सिग्नल पृथक्करण और हस्तक्षेप शमन सुनिश्चित करने के लिए स्पेक्ट्रम को एक संचार चैनल पर अविकृत सिग्नल ट्रांसमिशन के कार्यान्वयन के लिए जाना जाना चाहिए।

संकेतों के स्पेक्ट्रा का निरीक्षण करने के लिए उपकरण हैं जिन्हें कहा जाता है स्पेक्ट्रम विश्लेषक. वे आपको एक आवधिक संकेत के स्पेक्ट्रम के व्यक्तिगत घटकों के मापदंडों को देखने और मापने की अनुमति देते हैं, साथ ही एक निरंतर संकेत के वर्णक्रमीय घनत्व को मापते हैं।

इस खंड में, हम आवृत्ति डोमेन में द्वि-आयामी समय श्रृंखला के विवरण पर विचार करेंगे। यह दिखाया जाएगा कि पिछले खंड में चर्चित सैंपल क्रॉस-कोवैरियंस फंक्शन में एक फूरियर ट्रांसफॉर्म है जिसे सैंपल क्रॉस स्पेक्ट्रम कहा जाता है। यह स्पेक्ट्रम एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जिसे वास्तविक फ़ंक्शन के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे नमूना क्रॉस-आयाम स्पेक्ट्रम कहा जाता है, और एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन, जिसे नमूना चरण स्पेक्ट्रम कहा जाता है। इसी तरह, एक सैद्धांतिक क्रॉस सहप्रसरण फलन के फूरियर रूपांतरण को क्रॉस स्पेक्ट्रम कहा जाता है। इसे पारस्परिक आयाम और चरण स्पेक्ट्रा के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। क्रॉस एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम दिखाता है कि युग्मित आवृत्ति घटकों के आयाम एक विशेष आवृत्ति पर दो पंक्तियों में कितने बड़े हैं। इसी तरह, चरण स्पेक्ट्रम दिखाता है कि चरण में कितना पीछे या आगे एक पंक्ति में इस तरह के एक घटक किसी आवृत्ति के लिए दूसरी पंक्ति में संबंधित घटक है। निम्नलिखित खंड द्वि-आयामी रैखिक प्रक्रिया (8.1.14) के क्रॉस स्पेक्ट्रम से प्राप्त क्रॉस आयाम और चरण स्पेक्ट्रा का उदाहरण देता है। फिर आपसी आयाम स्पेक्ट्रम की तुलना में कुछ अधिक उपयोगी अवधारणा पेश की जाती है, अर्थात् जुटना स्पेक्ट्रम। हम दिखाएंगे कि सुसंगतता स्पेक्ट्रम और चरण स्पेक्ट्रम दो-आयामी सामान्य यादृच्छिक प्रक्रिया का पूरा विवरण देते हैं।

8.3.1। Bivariate समय श्रृंखला के लिए फूरियर विश्लेषण लागू करना

फूरियर विश्लेषण को द्वि-आयामी समय श्रृंखला पर उसी तरह लागू किया जा सकता है जैसे एक-आयामी वाले। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि - समान आवृत्ति की दो कोसाइन तरंगें लेकिन विभिन्न आयामों और चरणों के साथ, अर्थात।

यदि उपलब्ध रिकॉर्ड की लंबाई टी के बराबर है, तो (2.2.11) का उपयोग करके हम फूरियर रूपांतरण प्राप्त करते हैं

इसलिए, इन दो संकेतों का नमूना स्पेक्ट्रा (6.1.6) है

ये भाव करते हैं

इस प्रकार, फैलाव, या एक कोसाइन तरंग की औसत शक्ति, आवृत्तियों पर कार्यों के रूप में वितरित की जाती है

मान लीजिए कि अब हम दो कोसाइन तरंगों के सहप्रसरण का वर्णन करना चाहते हैं। इस मामले में, चयनात्मक क्रॉस पावर स्पेक्ट्रम, या संक्षेप में, चयनात्मक क्रॉस स्पेक्ट्रम का उपयोग करना स्वाभाविक है

जहां तारांकन जटिल संयुग्मन को दर्शाता है। (8.3.2) को (8.3.3) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं कि दो कोसाइन तरंगों का नमूना क्रॉस स्पेक्ट्रम है

कि जब जाता है

परिभाषा (8.3.3) स्वाभाविक है, क्योंकि इसमें दो संकेतों की निर्भरता के बारे में सारी जानकारी शामिल है। कोसाइन तरंगों के विशेष मामले में, समीकरण (8.3.5) से पता चलता है कि इस जानकारी में एक चरण अंतर होता है जो दर्शाता है कि कोसाइन तरंगों में से एक दूसरे को कितना आगे ले जाता है, और एक पारस्परिक आयाम दिखाता है कि दो संकेतों में संबंधित आयाम कितने बड़े हैं। एक निश्चित आवृत्ति पर।

चयनात्मक चरण और चयनात्मक पारस्परिक आयाम स्पेक्ट्रा।अधिक आम तौर पर, मान लें कि फूरियर के साथ मनमाना वास्तविक संकेत क्रमशः रूपांतरित होते हैं। ये परिवर्तन संकेतों का आयाम और चरण वितरण देते हैं, अर्थात

जहाँ एक गैर-ऋणात्मक सम फलन है और एक विषम फलन है। (8.3.3) के अनुसार, इस मामले में नमूना क्रॉस स्पेक्ट्रम के बराबर होगा

जिसे फॉर्म में भी लिखा जा सकता है

इसलिए, नमूना चरण स्पेक्ट्रम का उपयोग करके दो श्रृंखलाओं के सहप्रसरण का वर्णन किया जा सकता है

और चयनात्मक पारस्परिक आयाम स्पेक्ट्रम

नमूना चरण स्पेक्ट्रम दिखाता है कि क्या एक श्रृंखला का आवृत्ति घटक एक ही आवृत्ति पर दूसरी श्रृंखला के घटक से पिछड़ता है या आगे बढ़ता है। इसी तरह, नमूना क्रॉस-आयाम स्पेक्ट्रम दिखाता है कि एक निश्चित आवृत्ति पर संबंधित घटकों के आयाम दो पंक्तियों में कितने बड़े हैं। ध्यान दें कि एक गैर-ऋणात्मक सम फलन है और एक विषम आवृत्ति फलन है।

नमूना सहस्पेक्ट्रम और चतुर्भुज स्पेक्ट्रम।चूँकि (8.3.8) का फलन जटिल-मूल्यवान है, इसे आयाम और चरण कार्यों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जैसा कि (8.3.7) में है। अभिव्यक्ति (8.3.8) को वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करते हुए दूसरे रूप में भी लिखा जा सकता है:

ध्यान दें कि - एक सम, - आवृत्ति का एक विषम फलन इस तथ्य के कारण कि - एक सम, - एक विषम फलन। वर्णन करने के लिए, ऊपर दिए गए 2D कोज्या तरंग उदाहरण पर विचार करें।