Властивості правильних багатогранників. Чому правильні багатогранники отримали такі назви

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Подібні документи

Правильним багатогранникомназивається опуклий багатогранник, грані якого – рівні правильні багатокутники, а двогранні кути при всіх вершинах рівні між собою. Доведено, що в кожній з вершин правильного багатогранника сходиться те саме число граней і те саме число ребер.

Загалом у природі існує п'ять правильних багатогранників. Порівняно з кількістю правильних багатокутників це дуже мало: для кожного цілого n>2 існує один правильний n-кутник, тобто. правильних багатокутників – нескінченно багато. Правильні багатогранники мають назви за кількістю граней: тетраедр (4 грані): гексаедр (6 граней), октаедр (8гранів), додекаедр (12 граней) та ікосаедр (20 граней). Грецькою "хедрон" означає грань, "тетра", "гекса" і т. д. - вказані числа граней. Неважко здогадатися, що гексаедр є нічим іншим, як усім знайомий куб. Грані тетраедра, октаедра та ікосаедра – правильні трикутники, куба – квадрати, додекаедра – правильні п'ятикутники.

Багатогранник називається опуклимякщо він весь лежить по одну сторону від площини будь-якої його грані; тоді грані його теж опуклі. Випуклий багатогранник розрізає простір на дві частини - зовнішню та внутрішню. Внутрішня частина є опукле тіло. Назад, якщо поверхня опуклого тіла багатогранна, то відповідний багатогранник - опуклий.

Жодні геометричні тіла не мають таку досконалість і красу, як правильні багатогранники. "Правильних багатогранників зухвало мало", - написав колись Л. Керолл, - але цей дуже скромний за чисельністю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук.

Яке ж це зухвало мала кількість і чому їх саме стільки. А скільки? Виявляється, рівно п'ять – ні більше, ні менше. Це можна підтвердити за допомогою розгортки опуклого багатогранного кута. Справді, щоб отримати який-небудь правильний багатогранник згідно з його визначенням, у кожній вершині має сходитися однакова кількість граней, кожна з яких є правильним багатокутником. Сума плоских кутів багатогранного кута повинна бути меншою за 360, інакше ніякої багатогранної поверхні не вийде. Перебираючи можливі цілі розв'язки нерівностей: 60к< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

Назви правильних багатогранників прийшли із Греції. У дослівному перекладі з грецького "тетраедр", "октаедр", "гексаедр", "додекаедр", "ікосаедр" означають: "чотирьохгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "дванадцятигранник", "двадцятигранник". Цим гарним тілам присвячено 13-ту книгу "Початок" Евкліда. Їх називають тілами Платона, т.к. вони займали важливе місце у філософській концепції Платона про будову світобудови. Чотири багатогранники уособлювали у ній чотири сутності чи " стихії " . Тетраедр символізував вогонь, т.к. його вершина спрямована вгору; ікосаедр - воду, т.к. він самий "обтічний"; куб - землю, як "стійкий"; октаедр - повітря, як "найповітряніший". П'ятий багатогранник, додекаедр, втілював у собі "все, що існує", символізував всю світобудову, вважався головним.

Якщо нанести на глобус вогнища найбільших і найвизначніших культур і цивілізацій Стародавнього світу, можна помітити закономірність у їхньому розташуванні щодо географічних полюсів та екватора планети. Багато покладів корисних копалин тягнуться вздовж ікосаедрово-додекаедрової сітки. Ще дивовижніші речі відбуваються у місцях перетину цих ребер: тут розташовуються осередки найдавніших культур та цивілізацій: Перу, Північна Монголія, Гаїті, Обська культура та інші. У цих точках спостерігаються максимуми та мінімуми атмосферного тиску, гігантські завихрення Світового океану, тут шотландське озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. Подальші дослідження Землі, можливо, визначать ставлення до цієї гарної наукової гіпотези, у якій, очевидно, правильні багатогранники займають важливе місце.

Отже, з'ясовано, що правильних багатогранників рівно п'ять. А як визначити кількість ребер, граней, вершин? Це неважко зробити для багатогранників з невеликою кількістю ребер, а як, наприклад, отримати такі відомості для ікосаедра? Знаменитий математик Л. Ейлер отримав формулу В+Г-Р=2, яка пов'язує число вершин /В/, граней /Г/ і ребер /Р/ будь-якого багатогранника. Простота цієї формули у тому, що вона пов'язана ні з відстанню, ні з кутами. Щоб визначити число ребер, вершин і граней правильного багатогранника, знайдемо спочатку число к=2у - ху+2х, де х - число ребер, що належать одній грані, у - число граней, які у одній вершині.

Отже, правильні багатогранники відкрили нам спроби вчених наблизитися до таємниці світової гармонії та показали неперевершену привабливість геометрії.

Список правильних багатогранників

Існує лише п'ять правильних багатогранників:

Світ наш сповнений симетрії. З найдавніших часів із нею пов'язані наші уявлення про красу. Напевно, цим пояснюється безперервний інтерес людини до багатогранників - дивовижних символів симетрії, які привертали увагу багатьох видатних мислителів, від Платона і Евкліда до Ейлера і Коші.

Втім, багатогранники – аж ніяк не лише об'єкт наукових досліджень. Їхні форми - завершені та химерні, широко використовуються в декоративному мистецтві. Зазвичай моделі багатогранників конструюють із розгорток. Але є й інший спосіб.

Математики давно вже довели можливість побудови тривимірних об'єктів зі стрічки. На рис. 1 показано, як отримати тетраедр, перегинаючи паперову стрічку з боків розкреслених на ній рівносторонніх трикутників.

Мал. 1

Аналогічним способом можна згорнути куб (рис. 2). Його грані також вишиковуються в ланцюжок, а щоб змінити напрямок стрічки для завершення формоутворення, достатньо перегнути її по діагоналі квадрата.

Мал. 2

Так, нічим на перший погляд не примітна паперова стрічка при нанесенні на її поверхню візерунка перетворюється на заготовку для побудови різноманітних багатогранників. На основі різних візерунків можна створити всі правильні багатогранники, крім додекаедра. Це пояснюється відсутністю у плоских візерунків осей симетрії 5-го, 7-го та вищих порядків - інакше кажучи, суцільний візерунок із п'ятикутників побудувати неможливо.

Рис.3

Побудова октаедра та ікосаедра здійснюється на основі візерунка з правильних трикутників (рис. 3 та рис. 4). Згорнувши для октаедра кільце з шести, а для ікосаедра - з десяти трикутників, перегинаємо стрічку у зворотний бік і продовжуємо згортати такі ж кільця.

Рис.4

Візерунки наших стрічок - це окремий випадок мереж симетрії Шубнікова - Лавеса (див. рис. 5). Трикутні осередки виходять накладенням двох пар дзеркальних гексагональних решіток, розгорнутих один щодо одного на 90 °, а квадратні - поєднанням квадратних решіток під кутом 45 ° один до одного. З цих позицій процес утворення багатогранників із фокусу перетворюється на теоретично обґрунтоване та закономірне явище.

Мал. 5

Справді, коли згортається кільце майбутнього багатогранника, то буквально проводиться перенос елементарної осередки решітки на певний крок, тобто здійснюється переносна симетрія. Змінюючи напрямок формоутворення за рахунок перегину стрічки у зворотний бік, виробляємо уявний поворот комірки навколо вузла решітки, тобто проявляється вже симетрія поворотна. Отже, заготівля зі стрічки забезпечує поворотно-переносну симетрію. Така поворотно-переносна симетрія у наших побудовах може здійснюватися з кутами поворотів; 30 ° 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 150 °, 180 °. В цьому і полягає весь секрет способу утворення плоскої стрічки об'ємних тіл.

Таким чином, ясно, що можуть існувати тільки два типи стрічок з кутами розбивки, кратними 30 і 45°. З них виходить чотири правильні багатогранники: куб, октаедр, тетраедр, ікосаедр - і ціле сімейство однорідних багатогранників (див. рис. 6). У прекрасному творі Йоганна Кеплера "Про шестикутні сніжинки" є дуже влучне зауваження: "Серед правильних тіл першим по праву вважається куб, первоздана фігура, батько всіх інших тіл, Октаедр, що має стільки ж вершин, скільки у куба граней, є як би його дружиною ..." Дійсно, всі елементи складних форм, що утворюються з нашої стрічки, є елементами куба або октаедра, або того й іншого разом.

Рис.6

багатогранник тетраедр куб октаедр додекаедр ікосаедр

Побудова простих багатогранників не становить особливих труднощів. Але щоб скласти зі стрічки складні зірчасті форми, знадобляться спеціальні пристосування для утримання ще не з'єднаних між собою кілець - скріпки, затискачі тощо. Створення оригінальних за своєю формою багатогранників надзвичайно цікаве самим процесом формоутворення.

Мета уроку:

Запровадити поняття правильних багатогранників.
Розглянути види правильних багатогранників.
Розв'язання задач.
Прищепити інтерес до предмета, навчити бачити прекрасне в геометричних тілах розвиток просторової уяви.
Міжпредметні зв'язки.

Наочність:таблиці, моделі.

Хід уроку

I. Організаційний момент.Повідомити тему уроку, сформулювати цілі уроку.

ІІ. Вивчення нового матеріалу/

Є в шкільній геометрії особливі теми, які чекаєш з нетерпінням, передчуваючи зустріч із неймовірно гарним матеріалом. До таких тем можна віднести "Правильні багатогранники". Тут не тільки відкривається дивовижний світ геометричних тіл, що мають неповторні властивості, а й цікаві наукові гіпотези. І тоді урок геометрії стає своєрідним дослідженням несподіваних сторін звичного шкільного предмета.

Жодні геометричні тіла не мають таку досконалість і красу, як правильні багатогранники. "Правильних багатогранників зухвало мало, - написав колись Л. Керолл, - але цей дуже скромний за чисельністю загін зумів пробратися в глибини різних наук".

Визначення правильного багатогранника.

Багатогранник називається правильним, якщо:

він опуклий;
усі його грані – рівні один одному правильні багатокутники;
у кожній його вершині сходиться однакове число ребер;
всі його двогранні кути рівні.

Теорема:Існує п'ять різних (з точністю до подоби) типів правильних багатогранників: правильний тетраедр, правильний гексаедр (куб), правильний октаедр, правильний додекаедр та правильний ікосаедр.

Таблиця 1.Деякі властивості правильних багатогранників наведені у таблиці.

Вид грані	Плоский кут при вершині	Вид багатогранного кута при вершині	Сума плоских кутів при вершині	У	Р	Г	Назва багатогранника
Правильний трикутник	60º	3-гранний	180º	4	6	4	Правильний тетраедр
Правильний трикутник	60º	4-гранний	240º	6	12	8	Правильний октаедр
Правильний трикутник	60º	5-гранний	300º	12	30	20	Правильний ікосаедр
Квадрат	90º	3-гранний	270º	8	12	6	Правильний гексаедр (куб)
Правильний трикутник	108º	3-гранний	324º	20	30	12	Правильний додекаедр

Розглянемо види багатогранників:

Правильний тетраедр

<Рис. 1>

Правильний октаедр

<Рис. 2>

Правильний ікосаедр

<Рис. 3>

Правильний гексаедр (куб)

<Рис. 4>

Правильний додекаедр

<Рис. 5>

Таблиця 2. Формули знаходження обсягів правильних багатогранників.

Вид багатогранника	Об'єм багатогранника
Правильний тетраедр
Правильний октаедр
Правильний ікосаедр
Правильний гексаедр (куб)
Правильний додекаедр

"Платонові тіла".

Куб і октаедр дуальні, тобто. виходять один з одного, якщо центри тяжкості граней одного прийняти за вершини іншого та назад. Аналогічно дуальні додекаедр та ікосаедр. Тетраедр дуальний сам собі. Правильний додекаедр виходить із куба побудовою “дахів” з його гранях (спосіб Евкліда), вершинами тетраедра є будь-які чотири вершини куба, попарно не суміжні по ребру. Так виходять із куба всі інші правильні багатогранники. Сам факт існування всього п'яти дійсно правильних багатогранників дивовижний – адже правильних багатокутників на площині дуже багато!

Всі правильні багатогранники були відомі ще в Стародавній Греції, і їм присвячена заключна, XII книга знаменитих початків Евкліда. Ці багатогранники часто називають так само платоновими тіламив ідеалістичній картині світу, даної великим давньогрецьким мислителем Платоном. Чотири з них уособлювали чотири стихії: тетраедр-вогонь, куб-землю, ікосаедр-воду та октаедр-повітря; п'ятий багатогранник, додекаедр, символізував всю світобудову. Його латиною стали називати quinta essentia (“п'ята сутність”).

Придумати правильний тетраедр, куб, октаедр, мабуть, було не важко, тим більше, що ці форми мають природні кристали, наприклад: куб – монокристал кухонної солі (NaCl), октаедр – монокристал алюмокалієвих галунів ((KAlSO 4) 2 ·l2H 2 O). Існує припущення, що форму додекаедра древні греки набули, розглядаючи кристали піриту (сірчистого колчедану FeS). Маючи ж додекаедр неважко побудувати і ікосаедр: його вершинами будуть центри 12 граней додекаедра.

Де ще можна побачити ці дивовижні тіла?

У дуже гарній книзі німецького біолога початку нашого століття Е. Геккеля "Краса форм у природі" можна прочитати такі рядки: "Природа вигодовує на своєму лоні невичерпну кількість дивовижних створінь, які за красою та різноманітністю далеко перевершують усі створені мистецтвом людини форми". Створення природи, наведені у цій книзі, красиві та симетричні. Це невіддільне властивість природної гармонії. Але тут видно одноклітинні організми - феодарії, форма яких точно передає ікосаедр. Чим викликана ця природна геометризація? Можливо, тим, що з усіх багатогранників з такою ж кількістю граней саме ікосаедр має найбільший об'єм та найменшу площу поверхні. Ця геометрична властивість допомагає морському мікроорганізму долати тиск водної товщі.

Цікаво й те, що саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів у їх суперечках щодо форми вірусів. Вірус може бути зовсім круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, спрямовували ними світло тими самими кутами, як і потік атомів на вірус. Виявилося, що властивості, про які йшлося вище, дозволяють заощаджувати генетичну інформацію. Правильні багатогранники – найвигідніші постаті. І природа цим широко користується. Правильні багатогранники визначають форму кристалічних ґрат деяких хімічних речовин. Наступне завдання проілюструє цю думку.

Завдання.Модель молекули метану CH 4 має форму правильного тетраедра, у чотирьох вершинах якого є атоми водню, а центрі – атом вуглецю. Визначити кут зв'язку між двома СН зв'язками.

<Рис. 6>

Рішення.Так як правильний тетраедр має шість рівних ребер, можна підібрати такий куб, щоб діагоналі його граней були ребрами правильного тетраедра. Центр куба є і центром тетраедра, адже чотири вершини тетраедра є і вершинами куба, а сфера, що описується біля них, однозначно визначається чотирма точками, що не лежать в одній площині.

Трикутник АОС – рівнобедрений. Звідси а – сторона куба, d – довжина діагоналі бічної грані чи ребро тетраедра. Отже, а = 54, 73 561 0 і j = 109,47 0

Завдання.У кубі з однієї вершини (D) проведено діагоналі граней DA, DB і DC і кінці їх з'єднані прямими. Довести, що багатогранник DABC, утворений чотирма площинами, що проходять через ці прямі, – правильний тетраедр.

<Рис. 7>

Завдання.Ребро куба одно a.Обчислити поверхню вписаного до нього правильного октаедра. Знайти її відношення до поверхні вписаного в той же куб правильного тетраедра.

<Рис. 8>

Узагальнення поняття багатогранника.

Багатогранник – сукупність кінцевого числа плоских багатокутників така, що:

кожна сторона будь-якого з багатокутників є одночасно стороною іншого (але тільки одного (називається суміжним з першим) по цій стороні);
від будь-якого з багатокутників складових багатогранник, можна дійти до будь-якого з них, переходячи до суміжного з ним, а від цього, у свою чергу, до суміжного з ним і т.д.

Ці багатокутники називаються гранями, їхні сторони – ребрами, які вершини – вершинами багатогранника.

Наведене визначення багатогранника набуває різного змісту залежно від того, як визначити багатокутник:

- якщо під багатокутником розуміють плоскі замкнуті ламані (хоча б і саме перетинаються), то приходять до цього визначення багатогранника;

– якщо під багатокутником розуміти частину площини, обмеженої ламаними, то з цього погляду під багатогранником розуміють поверхню, складену з багатокутних шматків. Якщо ця поверхня сама себе не перетинає, вона є повна поверхня деякого геометричного тіла, яке так само називають багатогранником. Від сюди виникає третя точка зору на багатогранники як на геометричні тіла, причому допускається також існування у цих тіл "дірок", обмежених кінцевим числом плоских граней.

Найпростішими прикладами багатогранників є призми та піраміди.

Багатогранник називається n-вугільний пірамідою, якщо він має однією своєю гранню (підставою) будь-якої n-косинець, а інші грані – трикутники із загальною вершиною, що не лежить у площині основи. Трикутна піраміда називається також тетраедром.

Багатогранник називається n-вугільною призмою, якщо він має двома своїми гранями (підставами) рівні n-кутники (які не лежать в одній площині), що виходять один з одного паралельним переносом, а інші грані – паралелограми, протилежними сторонами яких є відповідні сторони підстав.

Для кожного багатогранника нульового роду ейлерова характеристика (число вершин мінус число ребер плюс число граней) дорівнює двом; символічно: В - Р + Г = 2 (теорема Ейлера). Для багатогранника роду pсправедливе співвідношення В - Р + Г = 2 - 2 p.

Випуклим багатогранником називається такий багатогранник, який лежить по один бік від площини будь-якої його грані. Найбільш важливі такі опуклі багатогранники:

<Рис. 9>

правильні багатогранники (тіла Платона) – такі опуклі багатогранники, усі грані яких однакові правильні багатокутники та всі багатогранні кути при вершинах правильні та рівні<Рис. 9, № 1-5>;
ізогони та ізоедри - опуклі багатогранники, всі багатогранні кути яких рівні (ізогони) або рівні всі грані (ізоедри); причому група поворотів (з відображеннями) ізогону (ізоедра) навколо центру тяжіння переводить будь-яку його вершину (грань) в будь-яку іншу його вершину (грань). Отримані багатогранники називаються напівправильними багатогранниками (тілами Архімеда)<Рис. 9, № 10-25>;
паралелоедри (опуклі) – багатогранники, що розглядаються як тіла, паралельним перетином яких можна заповнити весь нескінченний простір так, щоб вони не входили один в одного і не залишали порожнеч між собою, тобто. утворювали розбиття простору<Рис. 9, № 26-30>;
Якщо під багатокутником розуміти плоскі замкнуті ламані (хоча б і самоперетинаються), то можна вказати ще 4 невипуклі (зірчасті) правильні багатогранники (тіла Пуансо). У цих багатогранниках або грані перетинають один одного, або грані – багатокутники, що самоперетинаються.<Рис. 9, № 6-9>.

ІІІ. Завдання додому.

IV. Розв'язання задач №279, №281.

V. Підбиття підсумків.

Список використаної литературы:

"Математична енциклопедія", за редакцією І. М. Виноградова,видавництво "Радянська енциклопедія", Москва, 1985 р. Том 4 стор 552-553 Том 3, стор 708-711.
"Мала математична енциклопедія", Е. Фрід, І. Пастор, І. Рейманта ін. видавництво Академії наук Угорщини, Будапешт, 1976 р. Стор. 264–267.
"Збірник завдань з математики для вступників до ВНЗ" у двох книгах, за редакцією М.І. Сканави, книга 2 – Геометрія, изд-во “Вища школа”, Москва, 1998 р. стор. 45-50.
"Практичні заняття з математики: Навчальний посібник для технікумів", видавництво "Вища школа", Москва, 1979 р. Стор. 388–395, стор. 405.
"Повторюємо математику" видання 2-6, доп., Навчальний посібник для вступників до ВНЗ, видавництво "Вища школа", Москва, 1974 р. Стор. 446-447.
Енциклопедичний словник юного математика А. П. Савін,видавництво "Педагогіка", Москва, 1989 р. Стор. 197-199.
“Енциклопедія для дітей. Т.П. Математика”, головний редактор М. Д. Аксьонова; метод, та відп. редактор В. А. Володін, видавництво "Аванта +", Москва, 2003 р. Стор. 338-340.
Геометрія, 10–11: Підручник для загальноосвітніх закладів/ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцевта ін – 10-те видання – М.: Просвітництво, 2001. Стор. 68–71.
"Квант" № 9, 11 - 1983, № 12 - 1987, № 11, 12 - 1988, № 6, 7, 8 - 1989. Науково-популярний фізико-математичний журнал Академії наук СРСР та Академії педагогічних наук СРСР. Видавництво "Наука". Головна редакція фізико-математичної літератури. Стор. 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Вирішення задач підвищеної складності з геометрії: 11-й клас - М.: АРКТІ, 2002. Стор. 9, 19-20.

Нагадаємо визначення багатогранника та деяких його видів.

Багатогранник -це обмежене тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа багатокутників. Випуклий багатогранниклежить по одну сторону від кожного з обмежують його багатокутників. Багатокутник на поверхні багатогранника називається його гранню.Сторони граней називаються ребрамибагатогранника, а вершини граней - вершинами багатогранника.

Найпростіші багатогранники - це призма та піраміда. Призмоюназивається багатогранник, у якого дві грані, які називаються підставами призми, рівні та їх відповідні сторони паралельні, а інші грані - паралелограми, у кожного з яких дві сторони є відповідними сторонами підстав.

Призма називається прямий,якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи.

Пряма призма називається правильною,якщо її основою є правильний багатокутник.

Призма, у якої основа – паралелограм, називається паралелепіпедом.

Паралелепіпед називається прямокутним,якщо всі його грані прямокутники.

Куб -це прямокутний паралелепіпед, все ребра якого рівні, тобто. усі грані якого – квадрати.

Зобразимо, наприклад, похилу призму, основою якої є квадрати.

Побудуємо спочатку нижню основу призми (можна починати і з верхньої). За правилами паралельного проектування воно зобразиться

довільним паралелограмом АВСD(Рис. А). Так як ребра призми паралельні, будуємо паралельні прямі, що проходять через вершини побудованого паралелограма і відкладаємо на них рівні відрізки АА", ВВ", СС", ВВ"",довжина яких довільна. З'єднавши послідовно точки А", В", С", D",отримаємо чотирикутник А"В"С"D",що зображує верхню основу призми. Неважко довести, що А "В" З "D" -паралелограм, рівний паралелограму АВСDі, отже, маємо зображення призми, основами якої є рівні квадрати, інші грані - паралелограммы.

Якщо потрібно зобразити пряму призму, основами якої є квадрати, то показати, що бічні ребра цієї призми перпендикулярні до основи, можна так, як це зроблено на малюнку б.

З'ясуй тепер, як зобразити на площині піраміду.

Пірамідоюназивається багатогранник, у якого одна грань (її називають основою) - якийсь багатокутник, а інші грані (їх називають бічними) - трикутники із загальною вершиною.

Загальну вершину бічних граней називають вершиноюпіраміди. Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину її основи, а також довжина цього перпендикуляра називається заввишкипіраміди.

Найпростішою пірамідою є трикутна піраміда – тетраедр. У неї найменша можлива кількість граней - всього чотири. Будь-яка її грань може вважатися основою, що й відрізняє тетраедр від інших пірамід.

Піраміда називається правильною,якщо її основа – правильний багатокутник і висота проходить через центр цього багатокутника.

Щоб зобразити правильну піраміду, спочатку креслять правильний багатокутник, що лежить в основі, та його центр - точку О . Потім проводять вертикальний відрізок OS , що зображує висоту піраміди. Зауважимо, що вертикальність відрізка OS забезпечує більшу наочність малюнка. І нарешті, точку S з'єднують з усіма вершинами основи.

Зобразимо, наприклад, правильну піраміду, основою якої є правильний шестикутник.

Щоб правильно зобразити при паралельному проектуванні правильний шестикутник, слід звернути увагу на таке. Нехай АВСDEF -правильний шестикутник. Тоді ВСЕF -прямокутник (рис.) і, отже, при паралельному проектуванні він зобразиться довільним паралелограмом В"С"Е"F".Оскільки діагональ АDпроходить через точку O - центр багатокутника АВСDEFі паралельна відрізкам НДі ЕF та АТ = ОD,то при паралельному проектуванні вона зобразиться довільним відрізом А "D",проходить через точку О"паралельно В "С"і Е"F"і, крім того, А "Про" = 0"D".

Таким чином, послідовність побудови основи шестикутної піраміди така (рис.):

Зображують довільний паралелограм В"С"Е"F"та його діагоналі; відзначають точку їх перетину Про";

- через точку О"проводять пряму, паралельну В "С"(або Е"F");

- на побудованій прямій вибирають довільну точку А"та відзначають точку D"таку, що 0"D" = А "О",і з'єднують точку А"з точками В"і F" ,а точку D"з точками С"і Е".

Щоб завершити побудову піраміди, проводять вертикальний відрізок OS (його довжина вибирається довільно) і з'єднують точку S з усіма вершинами основи.

Завершуючи розгляд багатогранників, відзначимо ще одне цікаве властивість, встановлене Л. Эйлером.

Теорема Ейлер. Нехай даний опуклий багатогранник і В - число його вершин, Р - число ребер, Г - кількість граней. Тоді В + Г - Р== 2 для будь-якого опуклого багатогранника. Наприклад, правильна шестикутна піраміда має 7 вершин. (В = 7), 12 ребер (Р = 12) та 7 граней (Г = 7). Тоді У + Р - Р= 7 - 12 + 7 = 2. З теореми Эйлера можна зробити висновок, що є п'ять і лише п'ять видів правильних багатогранників, тобто. таких опуклих багатогранників, у яких усі грані – рівні один одному правильні багатокутники і в кожній його вершині сходиться те саме число ребер. Це - тетраедр, куб, октаедр, ікосаедр, додекаедр (рис.).

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Багатогранникназивається опуклимякщо він весь лежить по одну сторону від площини будь-якої його грані; тоді грані його теж опуклі. Випуклий багатогранник розрізає простір на дві частини - зовнішню та внутрішню. Внутрішня частина є опукле тіло. Назад, якщо поверхня опуклого тіла багатогранна, то відповідний багатогранник - опуклий.

Список правильних багатогранників

Існує лише п'ять правильних багатогранників:

Зображення	Тип правильного багатогранника	Число сторін у межі	Число ребер, що примикають до вершини	Загальна кількість вершин	Загальна кількість ребер	Загальна кількість граней
	Тетраедр


	Додекаедр
	Ікосаедр

Мал. 1

Мал. 2

Рис.3

Рис.4

Мал. 5

Рис.6

багатогранник тетраедр куб октаедр додекаедр ікосаедр

Розміщено на Allbest.ru

Зображення

Тип правильного багатогранника

Число сторін у межі

Число ребер, що примикають до вершини

Загальна кількість вершин

Загальна кількість ребер

Загальна кількість граней

Просторова симетрія правильного багатогранника. Тетраедр, октаедр, ікосаедр, куб, додекаедр. Геометричні властивості: площа, об'єм. Роль Теетета Афінського у розвитку геометрії. Структура Сонячної системи та відношення відстаней між планетами.

презентація , додано 04.05.2013

Вивчення однорідних опуклих та однорідних невипуклих багатогранників. Визначення правильних багатогранників. Подвійність куба та октаедра. Теорема Ейлер. Тіла Архімеда. Отримання тіл Кеплера Пуансо. Багатогранники у геології, ювелірній справі, архітектурі.

презентація , доданий 27.10.2013

Поняття багатогранника та його елементи з погляду топології. Визначення площі та бічної поверхні призми, паралелепіпеда, піраміди. Поняття правильних, напівправильних, зірчастих багатогранників. Багатогранники у різних галузях культури та науки.

курсова робота , доданий 02.04.2012

Випуклі багатогранники, теорема Ейлера. Властивості опуклих багатогранників. Визначення правильного багатогранника. Концепція напівправильних багатогранників. Властивості ромбокубооктаедра, кубооктаедра, тетраедра, октаедра, ікосаедра, додекаедра та куба.

методичка , доданий 30.04.2012

Перші згадки про правильні багатогранники. Класифікація багатогранників, їх види, властивості, теореми про розгортки опуклих багатогранників (Коші та Александрова). Створення моделей правильних багатогранників за допомогою розгорток та методами орігамі.

курсова робота , доданий 18.01.2011

Концепція правильного багатогранника. Повний математичний опис правильних багатогранників Евкліда. Відкриття двох законів орбітальної динаміки. Основні характеристики ікосаедра. Відношення кількості вершин правильного багатогранника до кількості ребер.

презентація , додано 19.02.2017

Різні види правильних та напівправильних багатогранників, їх основні властивості. Багатогранні поверхні, багатогранники, топологічні, найпростіші та правильні багатогранники. Грані, ребра та вершини поверхні багатогранника. Піраміди та призми.

курсова робота , доданий 21.08.2013

Визначення правильного багатогранника, його сторін, вершин, відрізків, що з'єднують вершини. Аналіз особливостей, геометричних властивостей та видів правильних багатогранників. Правильні багатогранники, які зустрічаються у живій природі та архітектурі.

презентація , доданий 13.11.2015

Історичні відомості, поняття про багатогранники. Багатогранники, що згинаються, Коннеллі. Гіпотеза ковальського хутра. Побудова моделі Октаедр Брікара, Флексор Штеффена. Симетрія, обсяг, згинання та основні властивості багатогранників. Теорема Сабітова.

курсова робота , доданий 03.10.2010

Визначення багатогранника, його сторін та вершин, відрізків, що з'єднують вершини. Опис основи, бічних граней та висоти призми. Правильна та усічена піраміда. Теорема Ейлер. Аналіз особливостей та геометричних властивостей правильних багатогранників.

- (Визначення ) геометричне тіло, обмежене з усіх боків плоскими багатокутниками - гранями.

Приклади багатогранників:

Сторони граней називаються ребрами, а кінці ребер – вершинами. За кількістю граней розрізняють 4-гранники, 5-гранники тощо. Багатогранник називається опуклимякщо він весь розташований по одну сторону від площини кожної його грані. Багатогранник називається правильнимякщо його грані правильні багатокутники (тобто такі, у яких всі сторони і кути рівні) і всі багатогранні кути при вершинах рівні. Існує п'ять видів правильних багатогранників: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.

Багатограннику тривимірному просторі (поняття багатогранника) - сукупність кінцевого числа плоских багатокутників така, що

1) кожна сторона одного є одночасно стороною іншого (але тільки одного), званого суміжним з першим (з цієї сторони);

2) від будь-якого з багатокутників, що становлять багатогранник, можна дійти до будь-якого з них, переходячи до суміжного з ним, а від цього у свою чергу - до суміжного з ним і т.д.

Ці багатокутники називаються гранями, їхні сторони ребрами, а їхні вершини - вершинамибагатогранника.

Вершини багатогранника

Ребра багатогранника

Грані багатогранника

Багатогранник називається опуклим, якщо він лежить з одного боку від площини будь-якої його грані.

З цього визначення випливає, що всі грані опуклого багатогранника є плоскими опуклими багатокутниками. Поверхня опуклого багатогранника складається з граней, що лежать у різних площинах. У цьому ребрами багатогранника є сторони багатокутників, вершинами багатогранника – вершини граней, плоскими кутами багатогранника – кути багатокутників – граней.

Випуклий багатогранник, всі вершини якого лежать у двох паралельних площинах, називається призматоїдом. Призма, піраміда та усічена піраміда – окремі випадки призматоїду. Усі бічні грані призматоїда є трикутниками або чотирикутниками, причому чотирикутні грані – це трапеції чи паралелограми.