Вычисление определенного интеграла по формуле прямоугольников. Метод левых и правых прямоугольников
Перейдем к модификациям метода прямоугольников.
Это формула метода левых прямоугольников .
- это формула метода правых прямоугольников
.
Отличие от метода средних прямоугольников заключается в выборе точек не в середине, а на левой и правой границах элементарных отрезков соответственно.
Абсолютная погрешность методов левых и правых прямоугольников оценивается как .
Блок-Схема
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
1. Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формуле левых прямоугольников.
2. В ячейку D6 ввести текст y1,…,yn.
3. Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D9:D17
4. Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D7:D17).
5. Ввести в ячейку D19 формулу =B4*D18.
6. Ввести в ячейку D20 текст правых.
В итоге получаем следующее:
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Mathcad, необходимо выполнить следующие действия:
1. Ввести в поле ввода в одной строчке через какое-либо расстояние следующие выражения: a:=0, b:=3.2, n:=10.
2. В следующей строчке ввести формулу с клавиатуры h:=(b-a)/n ().
3. Рядом вывести значение данного выражения, для этого набрать с клавиатуры: h=.
4. Ниже ввести формулу для вычисления подинтегральной функции, для этого с клавиатуры набрать f(x):=, затем открыть панель инструментов "Арифметика", либо воспользовавшись значком , либо следующим способом:
После этого, на панели инструментов "Арифметика" выбрать "Квадратный корень": , затем в появившемся темном квадрате ввести выражение с клавиатуры x^4-x^3+8, перемещение курсора осуществляется стрелками на клавиатуре (обратить внимание на то, что в поле ввода данное выражение сразу преобразуется к стандартному виду ).
5. Ниже ввести выражение I1:=0.
6. Ниже ввести выражение pr_p(a,b,n,h,I1):=.
7. Затем выбрать панель инструментов "Программирование" (либо: "Вид"-"Панели инструментов"-"Программирование", либо: значок ).
8. На панели инструментов "Программирование" добавить строку программы: , затем поставить курсор в первый темный прямоугольник и на панели инструментов "Программирование" выбрать "for".
9. В полученной строке, после слова for, встать курсором в первый из прямоугольников и набрать i.
10. Затем выбрать панель инструментов "Матрицы" (либо: "Вид"-"Панели инструментов"-"Матрицы", либо: значок ).
11. Поставить курсор в следующий темный прямоугольник и на панели инструментов "Матрицы" нажать: , где набрать в двух появившихся прямоугольниках соответственно: 1 и n.
12. Поставить курсор в нижестоящий темный прямоугольник и дважды добавить строку программы.
13. После этого вернуть курсор в первый из появившихся прямоугольников и набрать x1, затем нажать "Локальное присвоение" на панели "Программирование": и после этого набрать a+h.
14. Поставить курсор в следующий темный прямоугольник, где набрать I1 присвоить (кнопка "Локальное присвоение") I1+f(x1).
15. Поставить курсор в следующий темный прямоугольник, где набрать a присвоить (кнопка "Локальное присвоение") x1.
16. В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы, где в первом из полученных прямоугольников набрать I1 присвоить (кнопка "Локальное присвоение") I1*h (обратить внимание, что знак умножения в поле ввода автоматически превращается в стандартный ).
17. В последнем темном прямоугольнике набрать I1.
18. Ниже ввести pr_p(a,b,n,h,I1) и нажать знак =.
19. Для того, чтобы отформатировать ответ, нужно дважды щелкнуть по полученному числу и указать число десятичный мест - 5.
В итоге получаем:
Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.
Метод прямоугольников безусловно очень удобен при вычислении определенного интеграла. Работа была очень увлекательна и познавательна.
Использованная литература
http://www.cleverstudents.ru/method_of_rectangles.html
(методы вычисления интегралов)
http://algmet.narod.ru/theory_a4m/integr_prav/index.htm
(суть метода)
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%EF%F0%FF%EC%EE%F3%E3%EE%EB%FC%ED%E8%EA%EE%E2
(википедия)
1) введение и теория
2) Суть метода и решение примеров
3) Паскаль
Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно. Многие подынтегральные функции не имеют первообразных в виде элементарных функций, поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. С другой стороны, точное значение не всегда и нужно. На практике нам часто достаточно знать приближенное значение определенного интеграла с некоторой заданной степенью точности (например, с точностью до одной тысячной). В этих случаях нам на помощь приходят методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, метод трапеций , метод Симпсона (парабол) и т.п.
В этой статье подробно разберем для приближенного вычисления определенного интеграла.
Сначала остановимся на сути этого метода численного интегрирования, выведем формулу прямоугольников и получим формулу для оценки абсолютной погрешности метода. Далее по такой же схеме рассмотрим модификации метода прямоугольников, такие как метод правых прямоугольников и метод левых прямоугольников. В заключении рассмотрим подробное решение характерных примеров и задач с необходимыми пояснениями.
Навигация по странице.
Суть метода прямоугольников.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке . Нам требуется вычислить определенный интеграл .
Как видите, точное значение определенного интеграла отличается от значения, полученного по методу прямоугольников для n = 10 , менее чем на шесть сотых долей единицы.
Графическая иллюстрация.
Пример.
Вычислите приближенное значение определенного интеграла 
методами левых и правых прямоугольников с точностью до одной сотой.
Решение.
По условию имеем a = 1, b = 2 , .
Чтобы применить формулы правых и левых прямоугольников нам необходимо знать шаг h , а чтобы вычислить шаг h необходимо знать на какое число отрезков n разбивать отрезок интегрирования. Так как в условии задачи нам указана точность вычисления 0.01 , то число n мы можем найти из оценки абсолютной погрешности методов левых и правых прямоугольников.
Нам известно, что 
. Следовательно, если найти n
, для которого будет выполняться неравенство 
, то будет достигнута требуемая степень точности.
Найдем - наибольшее значение модуля первой производной подынтегральной функции на отрезке
. В нашем примере это сделать достаточно просто.
Графиком функции производной подынтегральной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, на отрезке
ее график монотонно убывает. Поэтому достаточно вычислить модули значения производной на концах отрезка и выбрать наибольшее:
В примерах со сложными подынтегральными функциями Вам может потребоваться теория раздела .
Таким образом:
Число n не может быть дробным (так как n – натуральное число – количество отрезков разбиения интервала интегрирования). Поэтому, для достижения точности 0.01 по методу правых или левых прямоугольников, мы можем брать любое n = 9, 10, 11, … Для удобства расчетов возьмем n = 10 .
Формула левых прямоугольников имеет вид 
, а правых прямоугольников 
. Для их применения нам требуется найти h
и 
для n = 10
.
Итак, 
Точки разбиения отрезка определяются как .
Для i = 0 имеем и .
Для i = 1 имеем и .
Полученные результаты удобно представлять в виде таблицы:
Подставляем в формулу левых прямоугольников:
Подставляем в формулу правых прямоугольников:
Вычислим точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:
Очевидно, точность в одну сотую соблюдена.
Графическая иллюстрация.
Замечание.
Во многих случаях нахождение наибольшего значения модуля первой производной (или второй производной для метода средних прямоугольников) подынтегральной функции на отрезке интегрирования является очень трудоемкой процедурой.
Поэтому можно действовать без использования неравенства для оценки абсолютной погрешности методов численного интегрирования. Хотя оценки предпочтительнее.
Для методов правых и левых прямоугольников можно использовать следующую схему.
Берем произвольное n (например, n = 5 ) и вычисляем приближенное значение интеграла. Далее удваиваем количество отрезков разбиения интервала интегрирования, то есть, берем n = 10 , и вновь вычисляем приближенное значение определенного интеграла. Находим разность полученных приближенных значений для n = 5 и n = 10 . Если абсолютная величина этой разности не превышает требуемой точности, то в качестве приближенного значения определенного интеграла берем значение при n = 10 , предварительно округлив его до порядка точности. Если же абсолютная величина разности превышает требуемую точность, то вновь удваиваем n и сравниваем приближенные значения интегралов для n = 10 и n = 20 . И так продолжаем до достижения требуемой точности.
Для метода средних прямоугольников действуем аналогично, но на каждом шаге вычисляем треть модуля разности полученных приближенных значений интеграла для n и 2n . Этот способ называют правилом Рунге.
Вычислим определенный интеграл из предыдущего примера с точностью до одной тысячной по методу левых прямоугольников.
Не будем подробно останавливаться на вычислениях.
Для n = 5
имеем 
, для n = 10
имеем 
.
Так как , тогда берем n = 20
. В этом случае 
.
Так как , тогда берем n = 40
. В этом случае 
.
Так как , то, округлив 0.01686093
до тысячных, утверждаем, что значение определенного интеграла равно 0.017
с абсолютной погрешностью 0.001
.
В заключении остановимся на погрешности методов левых, правых и средних прямоугольников более детально.
Из оценок абсолютных погрешностей видно, что метод средних прямоугольников даст большую точность, чем методы левых и правых прямоугольников для заданного n . В то же время, объем вычислений одинаков, так что использование метода средних прямоугольников предпочтительнее.
Если говорить о непрерывных подынтегральных функциях, то при бесконечном увеличении числа точек разбиения отрезка интегрирования приближенное значение определенного интеграла теоретически стремиться к точному. Использование методов численного интегрирования подразумевает использование вычислительной техники. Поэтому следует иметь в виду, что при больших n начинает накапливаться вычислительная погрешность.
Еще заметим, если Вам требуется вычислить определенный интеграл с некоторой точностью, то промежуточные вычисления проводите с более высокой точностью. Например, Вам требуется вычислить определенный интеграл с точностью до одной сотой, тогда промежуточные вычисления проводите с точностью как минимум до 0.0001 .
Подведем итог.
При вычислении определенного интеграла методом прямоугольников (методом средних прямоугольников) пользуемся формулой 
и оцениваем абсолютную погрешность как .
Для метода левых и правых прямоугольников пользуемся формулами и соответственно. Абсолютную погрешность оцениваем как .
В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом(21) :
В данной формуле x 0 =a, x n =b , так как любой интеграл в общем виде выглядит: (см. формулу18 ).
h можно вычислить по формуле 19 .
y 0 , y 1 ,..., y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x i =x i-1 +h ).
Формула правых прямоугольников.
В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом(22) :
В данной формуле x 0 =a, x n =b (см. формулу для левых прямоугольников).
h можно вычислить по той же формуле, что и в формуле для левых прямоугольников.
y 1 , y 2 ,..., y n - это значения соответствующей функции f(x) в точкахx 1 , x 2 ,..., x n (x i =x i-1 +h ).
Формула средних прямоугольников.
В общем виде формула средних прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом(23) :
Где x i =x i-1 +h .
В данной формуле, как и в предыдущих, требуется h умножать сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя соответствующие значения x 0 ,x 1 ,...,x n-1 в функцию f(x), а прибавляя к каждому из этих значенийh/2 (x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), а затем только подставляя их в заданную функцию.
h можно вычислить по той же формуле, что и в формуле для левых прямоугольников." [6 ]
На практике данные способы реализуются следующим образом:
Mathcad ;
Excel .
Mathcad ;
Excel .
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формулам левых и правых прямоугольников.
В ячейку E6 ввести текст xi+h/2, а в F6 - f(xi+h/2).
Ввести в ячейку E7 формулу =B7+$B$4/2, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек E8:E16
Ввести в ячейку F7 формулу =КОРЕНЬ(E7^4-E7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек F8:F16
Ввести в ячейку F18 формулу =СУММ(F7:F16).
Ввести в ячейку F19 формулу =B4*F18.
Ввести в ячейку F20 текст средних.
В итоге получаем следующее:
Ответ: значение заданного интеграла равно 13,40797.
Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что формула средних прямоугольников является наиболее точной, чем формулы правых и левых прямоугольников.
1. Метод Монте-Карло
"Основная идея метода Монте-Карло заключается в многократном повторении случайных испытаний. Характерной особенностью метода Монте-Карло является использование случайных чисел (числовых значений некоторой случайной величины). Такие числа можно получать с помощью датчиков случайных чисел. Например, в языке программирования Turbo Pascal имеется стандартная функция random , значениями которой являются случайные чис¬ла, равномерно распределенные на отрезке . Сказанное означает, что если разбить указанный отрезок на некоторое число равных интервалов и вычислить значение функции random большое число раз, то в каждый интервал попадет приблизительно одинаковое количество случайных чисел. В языке программирования basin подобным датчиком является функция rnd. В табличном процессоре MS Excel функция СЛЧИС возвращает равномерно распределенное случайное число большее или равное 0 и меньшее 1 (изменяется при пересчете)" [7 ].
Для того чтобы его вычислить, необходимо воспользоваться формулой () :
Где (i=1, 2, …, n) – случайные числа, лежащие в интервале .
Для получения таких чисел на основе последовательности случайных чисел x i , равномерно распределенных в интервале , достаточно выполнить преобразование x i =a+(b-a)x i .
На практике данный способ реализуется следующим образом:
Для того, чтобы вычислить интеграл методом Монте-Карло в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
В ячейку B1 ввести текст n=.
В ячейку B2 ввести текст a=.
В ячейку B3 ввести текст b=.
В ячейку C1 ввести число 10.
В ячейку C2 ввести число 0.
В ячейку C3 ввести число 3,2.
В ячейку A5 ввести I, в В5 – xi, в C5 – f(xi).
Ячейки A6:A15 заполнить числами 1,2,3, …,10 – так как n=10.
Ввести в ячейку B6 формулу =СЛЧИС()*3,2 (происходит генерация чисел в диапазоне от 0 до 3,2), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек В7:В15.
Ввести в ячейку C6 формулу =КОРЕНЬ(B6^4-B6^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек C7:C15.
Ввести в ячейку B16 текст «сумма», в B17 – «(b-a)/n», в B18 – «I=».
Вести в ячейку C16 формулу =СУММ(C6:C15).
Вести в ячейку C17 формулу =(C3-C2)/C1.
Вести в ячейку C18 формулу =C16*C17.
В итоге получаем:
Ответ: значение заданного интеграла равно 13,12416.
Не всегда имеется возможность вычисления интегралов по формуле Ньютона-Лейбница. Не все подынтегральные функции имеют первообразные элементарных функций, поэтому нахождение точного числа становится нереальным. При решении таких задач не всегда необходимо получать на выходе точные ответы. Существует понятие приближенного значения интеграла, которое задается методом числового интегрирования типа метода прямоугольников, трапеций, Симпсона и другие.
Данная статья посвящена именно этому разделу с получением приближенных значений.
Будет определена суть метода Симпсона, получим формулу прямоугольников и оценки абсолютной погрешности, метод правых и левых треугольников. На заключительном этапе закрепим знания при помощи решения задач с подробным объяснением.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Суть метода прямоугольников
Если функция y = f (x) имеет непрерывность на отрезке [ a ; b ] и необходимо вычислить значение интеграла ∫ a b f (x) d x .
Необходимо воспользоваться понятием неопределенного интеграла. Тогда следует разбить отрезок [ a ; b ] на количество n частей x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . . , n , где a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . В промежутке отрезка x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n выберем точку со значением ζ i . Из определения имеем, что существует определенный тип интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка, который уже разбили. Это выражается формулой λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 , тогда получаем, что любая из таких интегральных сумм – приближенное значение интеграла ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) .
Суть метода прямоугольниковвыражается в том, что приближенное значение считается интегральной суммой.
Если разбить интегрируемый отрезок [ a ; b ] на одинаковые части точкой h , то получим a = x 0 , x 1 = x 0 + h , x 2 = x 0 + 2 h , . . . , x - 1 = x 0 + (n - 1) h , x n = x 0 + n h = b , то есть h = x i - x i - 1 = b - a n , i = 1 , 2 , . . . , n . Серединами точек ζ i выбираются элементарные отрезки x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , значит ζ i = x i - 1 + h 2 , i = 1 , 2 , . . . , n .
Определение 1
Тогда приближенное значение ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) записывается таким образом ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 . Данная формула называется формулой метода прямоугольников.
Такое название метод получает из-за характера выбора точек ζ i , где гаг разбиения отрезка берется за h = b - a n .
Рассмотрим на приведенном ниже рисунке данный метод.
Чертеж явно показывает, что приближение к кусочной ступенчатой функции
y = f x 0 + h 2 , x ∈ [ x 0 ; x 1) f x 1 + h 2 , x ∈ [ x 1 ; x 2) . . . f x n - 1 + h 2 , x ∈ [ x n - 1 ; x n ] происходит на всем пределе интегрирования.
С геометрической стороны мы имеем, что неотрицательная функция y = f (x) на имеющемся отрезке [ a ; b ] имеет точное значение определенного интеграла и выглядит как криволинейная трапеция, площадь которой необходимо найти. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников
Для оценки абсолютной погрешности необходимо выполнить ее оценку на заданном интервале. То есть следует найти сумму абсолютных погрешностей каждого интервала. Каждый отрезок x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n имеет приближенное равенство ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f x i - 1 + h 2 · h = f x i - 1 + h 2 · (x i - x i - 1) . Абсолютная погрешность данного метода треугольников δ i , принадлежащей отрезку i , вычисляется как разность точного и приближенного определения интеграла. Имеем, что δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 . Получаем, что f x i - 1 + h 2 является некоторым числом, а x i - x i - 1 = ∫ x i - 1 x i d x , тогда выражение f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 по 4 свойству определения интегралов записывается в форме f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 = ∫ x - 1 x f x i - 1 + h 2 d x . Отсюда получаем, что отрезок i имеет абсолютную погрешность вида
δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 = = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - ∫ x i - 1 x i x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f (x) = - f x i - 1 + h 2 d x
Если взять, что функция y = f (x) имеет производные второго порядка в точке x i - 1 + h 2 и ее окрестностях, тогда y = f (x) раскладывается в ряд Тейлора по степеням x - x i - 1 + h 2 с остаточным членом в форме разложения по Лагранжу. Получаем, что
f (x) = f x i - 1 + h 2 + f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2 ⇔ ⇔ f (x) = f (x i - 1 + h 2) = f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2
Исходя из свойства определенного интеграла, равенство может интегрироваться почленно. Тогда получим, что
∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 d x + + ∫ x i - 1 x i f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 2 2 d x = = f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 2 2 x i - 1 x i + f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 3 6 x i - 1 x i = = f " x i - 1 + h 2 · x i - h 2 2 2 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 2 2 + + f "" ε i · x i - h 2 3 6 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 3 6 = = f " x i - 1 + h 2 · h 2 8 - h 2 8 + f "" (ε i) · h 3 48 + h 3 48 = f "" ε i · h 3 24
где имеем ε i ∈ x i - 1 ; x i .
Отсюда получаем, что δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = f "" ε i · h 3 24 .
Абсолютная погрешность формулы прямоугольников отрезка [ a ; b ] равняется сумме погрешностей каждого элементарного интервала. Имеем, что
δ n = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x и δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = b - a 3 24 n 2 .
Неравенство является оценкой абсолютной погрешности метода прямоугольников.
Для модификации метода рассмотрим формулы.
Определение 2
∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) является формулой левых треугольников.
∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) является формулой правых треугольников.
Рассмотрим на примере рисунка, приведенного ниже.
Отличием метода средних прямоугольников считается выбор точек не по центру, а на левой и правой границах данных элементарных отрезков.
Такая абсолютная погрешность методов левых и правых треугольников можно записать в виде
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n
Необходимо рассмотреть решение примеров, где нужно вычислять примерное значение имеющегося определенного интеграла при помощи метода прямоугольников. Рассматривают два типа решения заданий. Суть первого случая – задание количества интервалов для разбивания отрезка интегрирования. Суть второго заключается в наличии допустимой абсолютной погрешности.
Формулировки задач выглядят следующим образом:
- произвести приближенное вычисление определенного интеграла при помощи метода прямоугольников, разбивая на nколичество отрезков интегрирования;
- найти приближенное значение определенного интеграла методом прямоугольников с точностью до одной сотой.
Рассмотрим решения в обоих случаях.
В качестве примера выбрали задания, которые поддаются преобразованию для нахождения их первообразных. Тогда появляется возможность вычисления точного значения определенного интеграла и сравнения с приближенным значением при помощи метода прямоугольников.
Пример 1
Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x при помощи метода прямоугольников, разбивая отрезок интегрирования на 10 частей.
Решение
Из условия имеем, что a = 4 , b = 9 , n = 10 , f (x) = x 2 sin x 10 . Для применения ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 необходимо вычислить размерность шага h и значение функции f (x) = x 2 sin x 10 в точках x i - 1 + h 2 , i = 1 , 2 , . . . , 10 .
Вычисляем значение шага и получаем, что
h = b - a n = 9 - 4 10 = 0 . 5 .
Потому как x i - 1 = a + (i - 1) · h , i = 1 , . . . , 10 , тогда x i - 1 + h 2 = a + (i - 1) · h + h 2 = a + i - 0 . 5 · h , i = 1 , . . . , 10 .
Так как i = 1 , то получаем x i - 1 + h 2 = x 0 + h 2 = a + (i - 0 . 5) · h = 4 + (1 - 0 . 5) · 0 . 5 = 4 . 25 .
После чего необходимо найти значение функции
f x i - 1 + h 2 = f x 0 + h 2 = f (4 . 25) = 4 . 25 2 sin (4 . 25) 10 ≈ - 1 . 616574
При i = 2 получаем x i - 1 + h 2 = x 1 + h 2 = a + i - 0 . 5 · h = 4 + (2 - 0 . 5) · 0 . 5 = 4 . 75 .
Нахождение соответствующего значения функции получает вид
f x i - 1 + h 2 = f x 1 + h 2 = f (4 . 75) = 4 . 75 2 sin (4 . 75) 10 ≈ - 2 . 254654
Представим эти данные в таблице, приведенной ниже.
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i - 1 + h 2 | 4 . 25 | 4 . 75 | 5 . 25 | 5 . 75 | 6 . 25 |
| f x i - 1 + h 2 | - 1 . 616574 | - 2 . 254654 | - 2 . 367438 | - 1 . 680497 | - 0 . 129606 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i - 1 + h 2 | 6 . 75 | 7 . 25 | 7 . 75 | 8 . 25 | 8 . 75 |
| f x i - 1 + h 2 | 2 . 050513 | 4 . 326318 | 5 . 973808 | 6 . 279474 | 4 . 783042 |
Значения функции необходимо подставить в формулу прямоугольников. Тогда получаем, что
∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 = = 0 . 5 · - 1 . 616574 - 2 . 25654 - 2 . 367438 - 1 . 680497 - 0 . 129606 + + 2 . 050513 + 4 . 326318 + 5 . 973808 + 6 . 279474 + 4 . 783042 = = 7 . 682193
Исходный интеграл можно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Получаем, что
∫ 4 9 x 2 · sin x 10 d x = - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x 4 9 = = 7 5 cos 4 - 4 5 sin 4 - 79 10 cos 9 + 9 5 sin 9 ≈ 7 . 630083
Находим первообразную выражения - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x соответствующую функции f (x) = x 2 sin x 10 . Нахождение производится методом интегрирования по частям.
Отсюда видно, что определенный интеграл отличается от значения, полученном при решении методом прямоугольников, где n = 10 , на 6 долей единицы. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Пример 2
Вычислить приближенного значение определенного интеграла ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x при помощи метода левых и правых прямоугольников с точностью до одной сотой.
Решение
Из условия мы имеем, что a = 1 , b = 2 и f (x) = - 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26 .
Для применения формулы правых и левых прямоугольников нужно знать размерность шага h , а для его вычисления разбиваем отрезок интегрирования на n отрезков. По условию имеем, что точность должна быть до 0 , 01 , тогда нахождение n возможно при помощи оценки абсолютной погрешности методов левых и правых прямоугольников.
Известно, что δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n . Для достижения необходимой степени точности необходимо найти такое значение n , для которого неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0 . 01 будет выполнено.
Найдем наибольшее значение модуля первой производной, то есть значение m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) подынтегральной функции f (x) = - 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26 , определенной на отрезке [ 1 ; 2 ] . В нашем случае необходимо выполнить вычисления:
f " (x) = - 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26 " = - 0 . 09 x 2 + 0 . 26
Парабола является графиком подынтегральной функции с ветвями, направленными вниз, определенная на отрезке [ 1 ; 2 ] , причем с монотонно убывающим графиком. Необходимо произвести вычисление модулей значений производных на концах отрезков, а из них выбрать наибольшее значение. Получаем, что
f " (1) = - 0 . 09 · 1 2 + 0 . 26 = 0 . 17 f " (2) = - 0 . 09 · 2 2 + 0 . 26 = 0 . 1 → m a x x ∈ [ 1 ; 2 ] f " (x) = 0 . 17
Решение сложных подынтегральных функций подразумевает обращение к разделу наибольше и наименьшее значение функции.
Тогда получаем, что наибольшее значение функции имеет вид:
m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0 . 01 ⇔ ⇔ 0 . 17 · (2 - 1) 2 2 n ≤ 0 . 01 ⇔ 0 . 085 n ≤ 0 . 01 ⇔ n ≥ 8 . 5
Дробность числа n исключается, так как n является натуральным числом. Чтобы прийти к точности 0 . 01 , используя метод правых и левых прямоугольников, не обходимо выбирать любое значение n . Для четкости расчетов возьмем n = 10 .
Тогда формула левых прямоугольников примет вид ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) , а правых - ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) . Для применения их на практике необходимо найти значение размерности шага h и f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , n , где n = 10 .
Получим, что
h = b - a n = 2 - 1 10 = 0 . 1
Определение точек отрезка [ a ; b ] производится с помощью x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n .
При i = 0 , получаем x i = x 0 = a + i · h = 1 + 0 · 0 . 1 = 1 и f (x i) = f (x 0) = f (1) = - 0 . 03 · 1 3 + 0 . 26 · 1 - 0 . 26 = - 0 . 03 .
При i = 1 , получаем x i = x 1 = a + i · h = 1 + 1 · 0 . 1 = 1 . 1 и f (x i) = f (x 1) = f (1 . 1) = - 0 . 03 · (1 . 1) 3 + 0 . 26 · (1 . 1) - 0 . 26 = - 0 . 01393 .
Вычисления производятся до i = 10 .
Вычисления необходимо представить в таблице, приведенной ниже.
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i | 1 | 1 . 1 | 1 . 2 | 1 . 3 | 1 . 4 | 1 . 5 |
| f (x i) | - 0 . 03 | - 0 . 01393 | 0 . 00016 | 0 . 01209 | 0 . 02168 | 0 . 02875 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i | 1 . 6 | 1 . 7 | 1 . 8 | 1 . 9 | 2 |
| f (x i) | 0 . 03312 | 0 . 03461 | 0 . 03304 | 0 . 02823 | 0 . 02 |
Подставим формулу левых треугольников
∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) = = 0 . 1 · - 0 . 03 - 0 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + + 0 . 02875 + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 = = 0 . 014775
Подставляем в формулу правых треугольников
∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) = = 0 . 1 · - 0 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + 0 . 02875 + + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 + 0 . 02 = 0 . 019775
Произведем вычисление по формуле Ньютона-Лейбница:
∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x = = - 0 . 03 x 4 4 + 0 . 13 x 2 - 0 . 26 x 1 2 = 0 . 0175
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание
Нахождение наибольшего значения модуля первой производной является трудоемкой работой, поэтому можно исключить использование неравенства для оценивания абсолютной погрешности и методов численного интегрирования. Разрешено применять схему.
Берем значение n = 5 для вычисления приближенного значения интеграла. Необходимо удвоить количество отрезков интегрирования, тогда n = 10 , после чего производится вычисление примерного значения. необходимо найти разность этих значений при n = 5 и n = 10 . Когда разность не соответствует требуемой точности, то приближенным значением считается n = 10 с округлением до десятка.
Когда погрешность превышает необходимую точность, то производится удваивание n и сравнивание приближенных значений. Вычисления производятся до тех пор, пока необходимая точность не будет достигнута.
Для средних прямоугольников выполняются аналогичные действия, но вычисления на каждом шаге требуют разности полученных приближенных значений интеграла для n и 2 n . Такой способ вычисления называется правилом Рунге.
Произведем вычисление интегралов с точностью до одной тысячной при помощи метода левых прямоугольников.
При n = 5 получаем, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 0116 , а при n = 10 - ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 014775 . Так как имеем, что 0 . 0116 - 0 . 014775 = 0 . 003175 > 0 . 001 , возьмем n = 20 . Получаем, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 01619375 . Имеем 0 . 014775 - 0 . 01619375 = 0 . 00141875 > 0 . 001 , возьмем значение n = 40 , тогда получим ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 01686093 . Имеем, что 0 . 1619375 - 0 . 01686093 = 0 . 00066718 < 0 . 001 , тогда после округления значения проверим, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x равняется значению 0 , 017 с погрешностью 0 , 001 . Из оценок абсолютных погрешностей видно, что данный метод дает максимальную точность в отличие от метода левых и правых координат для заданного n . Отдается предпочтение методу средних прямоугольников.
Непрерывные подынтегральные функции при бесконечном разделении на отрезки данное приближенно число стремится к точному. Чаще всего такой метод выполняется при помощи специальных программ на компьютере. Поэтому чем больше значение n , тем больше вычислительная погрешность.
Для наиболее точного вычисления необходимо выполнять точные промежуточные действия, желательно с точностью до 0 , 0001 .
Итоги
Для вычисления неопределенного интеграла методом прямоугольников следует применять формулу такого вида ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 и оценивается абсолютная погрешность с помощью δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · b - a 3 24 n 2 .
Для решения с помощью методов правых и левых прямоугольников применяют формулы, имеющие вид, ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) и ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) . Абсолютная погрешность оценивается при помощи формулы вида δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · b - a 2 2 n .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Графическое изображение:
Вычислим приближенное значение интеграла. Для оценки точности используем просчет методом левых и правых прямоугольников.
Рассчитаем шаг при разбиении на 10 частей:
Точки разбиения отрезка определяются как.
Вычислим приближенное значение интеграла по формулам левых прямоугольников:
0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486
Вычислим приближенное значение интеграла по формулам правых прямоугольников:
0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342
Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом прогонки.
Для приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения можно использовать метод прогонки.
Рассмотрим линейное д.у.
y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)
c двухточечными линейными краевыми условиями
Введём обозначения:
Метод прогонки состоит из «прямого хода», в котором определяются коэффициенты:
После выполнения «прямого хода», переходят к выполнению «обратного хода», который заключается в определении значений искомой функции по формулам:
Используя метод прогонки, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью; Шаг h=0.05
2; A=1; =0; B=1.2;
 |
|||||
Задача Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
Найти непрерывную функцию и (х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной области уравнению Лапласа
и принимающую на границе области заданные значения, т. е.
где f l , f 2 , f 3 , f 4 -- заданные функции.
Вводя обозначения, аппроксимируем частные производные и в каждом внутреннем узле сетки центральными разностными производными второго порядка
и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением
Погрешность замены дифференциального уравнения разностным составляет величину.
Уравнения (1) вместе со значениями в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений функции и (х, у) в узлах сетки. Наиболее простой вид имеет эта система при:
При получении сеточных уравнений (2) была использована схема узлов, изображенная на рис. 1. Набор узлов, используемых для аппроксимации уравнения в точке, называется шаблоном.
Рисунок 1
Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике состоит в нахождении приближенных значений искомой функции и(х, у) во внутренних узлах сетки. Для определения величин требуется решить систему линейных алгебраических уравнений (2).
В данной работе она решается методом Гаусса--Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида
(верхним индексом s обозначен номер итерации). При последовательность сходится к точному решению системы (2). В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять
Таким образом, погрешность приближенного решения, полученного методом сеток, складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации дифференциального уравнения разностными; погрешности, возникающей в результате приближенного решения системы разностных уравнений (2).
Известно, что описанная здесь разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малые изменения в начальных данных приводят к малым изменениям решения разностной задачи. Только такие схемы имеет смысл применять в реальных вычислениях. Сходимость схемы означает, что при стремлении шага сетки к нулю () решение разностной задачи стремится в некотором смысле к решению исходной задачи. Таким образом, выбрав достаточно малый шаг h, можно как угодно точно решить исходную задачу.
Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле, для уравнения Лапласа в квадрате ABCD c вершинами A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); шаг h=0.02. При решении задачи использовать итерационный процесс усреднения Либмана до получения ответа с точностью до 0,01.
1) Вычислим значения функции на сторонах:
- 1. На стороне AB: по формуле. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
- 2. На стороне ВС=0
- 3. На стороне CD=0
- 4. На стороне AD: по формуле u(0;0)=0 u(0.2;0)=29,376 u(0.4;0)=47,542 u(0.6;0)=47,567 u(0.8;0)=29,44 u(1;0)=0
- 2) Для определения значений функции во внутренних точках области методом сеток заданное уравнение Лапласа в каждой точке заменим конечно-разностным уравнением по формуле
Используя эту формулу, составим уравнение для каждой внутренней точки. В результате получаем систему уравнений.
Решение этой системы выполним итерационным способом типа Либмана. Для каждого значения составим последовательность которую строим до сходимости в сотых долях. Запишем соотношения, с помощью которых будем находить элементы всех последовательностей:
Для вычислений по этим формулам нужно определить начальные значения которые могут быть найдены каким-либо способом.
3) Чтобы получить начальное приближенное решение задачи, будем считать, что функция u(x,y) по горизонталям области распределена равномерно.
Сначала рассмотрим горизонталь с граничными точками (0;0.2) и (1;0.2).
Обозначим искомые значения функции во внутренних точках через.
Так как отрезок разбит на 5 частей, то шаг измерения функции
Тогда получим:
Аналогично найдём значения функции во внутренних точках других горизонталей. Для горизонтали, с граничными точками (0;0.4) и (1;0.4) имеем
Для горизонтали с граничными точками (0;0.6) и (1;0.6) имеем
Наконец, найдем значения для горизонтали с граничными точками (0;0.8) и(1;0.8).
Все полученные значения представим в следующей таблице, которая называется нулевым шаблоном:
