Signaalide amplituudi- ja faasispektrid. Perioodiliste signaalide amplituudi- ja faasispekter Fourier amplituudispekter
) tutvusime kontseptsiooniga harmooniline (sinusoidne) funktsioonid. Kas seal on mõni mitteharmooniline funktsioonid ja signaalid ning kuidas nendega töötada? Selle peame täna välja mõtlema :)
Harmoonilised ja mitteharmoonilised signaalid.
Ja kõigepealt vaatame lähemalt, kuidas signaale klassifitseeritakse. Esiteks huvitavad meid harmoonilised signaalid, mille kuju kordub teatud ajaintervalli, mida nimetatakse perioodiks, järel. Perioodiline signaalid omakorda jagunevad kahte suurde klassi – harmoonilisteks ja mitteharmoonilisteks. Harmooniline signaal on signaal, mida saab kirjeldada järgmise funktsiooniga:
Siin on signaali amplituud, tsükliline sagedus ja algfaas. Võite küsida – aga siinus? Kas siinuslaine pole harmooniline signaal? Muidugi on, tõsiasi on see, et signaalid erinevad algfaasis vastavalt, sinusoidne signaal ei ole vastuolus definitsiooniga, mille me harmooniliste võnkumiste jaoks andsime :)
Teine perioodiliste signaalide alamklass on mitteharmoonilised vibratsioonid. Siin on näide mitteharmoonilise signaali kohta:
Nagu näete, jääb signaal vaatamata "mittestandardsele" kujule perioodiliseks, see tähendab, et selle kuju kordub perioodiga võrdse ajavahemiku järel.
Selliste signaalidega töötamiseks ja nende uurimiseks on olemas teatud tehnika, mis seisneb signaali jagamises Fourier seeria. Tehnika olemus seisneb selles, et mitteharmooniline perioodiline signaal (kui teatud tingimused on täidetud) on kujutatav teatud amplituudide, sageduste ja algfaasidega harmooniliste võnkumiste summana. Oluline nüanss on see, et kõik harmoonilised võnkumised, mis summeerimisel osalevad, peavad olema sagedusega, mis on mitmekordsed algse mitteharmoonilise signaali sagedusest. Võib-olla pole see veel täiesti selge, nii et vaatame praktilist näidet ja mõistame seda veidi üksikasjalikumalt :) Näiteks kasutame signaali, mis on näidatud ülaloleval joonisel. Seda saab esitada järgmiselt:
Kuvame kõik need signaalid ühel diagrammil:
Funktsioone nimetatakse harmoonilised signaali ja kutsutakse seda, mille periood on võrdne mitteharmoonilise signaali perioodiga esimene ehk põhiharmooniline. Sel juhul on esimene harmooniline funktsioon (selle sagedus võrdub uuritava mitteharmoonilise signaali sagedusega; vastavalt on nende perioodid võrdsed). Ja funktsioon pole midagi muud kui signaali teine harmooniline (selle sagedus on kaks korda kõrgem). Üldjuhul jaotatakse mitteharmooniline signaal lõpmatuks arvuks harmoonilisteks:
Selles valemis on amplituud ja see on k-nda harmoonilise algfaas. Nagu me veidi varem mainisime, on kõigi harmooniliste sagedused esimese harmoonilise sageduse kordsed, tegelikult näeme seda selles valemis 🙂 - see on nullharmooniline, selle sagedus on 0, see on võrdne funktsiooni keskmine väärtus perioodi jooksul. Miks keskmine? Vaadake - siinusfunktsiooni keskmine väärtus perioodi jooksul on 0, mis tähendab, et selle valemi keskmistamisel on kõik liikmed, välja arvatud, võrdsed 0-ga.
Mitteharmoonilise signaali kõigi harmooniliste komponentide kogumit nimetatakse spekter see signaal. Eristatakse signaali faasi- ja amplituudispektrit:
- signaali faasispekter – kõigi harmooniliste algfaaside kogum
- signaali amplituudispekter - kõigi mitteharmoonilise signaali moodustavate harmooniliste amplituudid
Vaatame lähemalt amplituudispektrit. Spektri visuaalseks kujutamiseks kasutatakse diagramme, mis kujutavad endast teatud pikkusega vertikaaljoonte kogumit (pikkus sõltub signaalide amplituudist). Harmoonilised sagedused on kantud diagrammi horisontaalteljele:
Horisontaalne telg võib kuvada nii sagedusi Hz-des kui ka lihtsalt harmooniliste numbreid, nagu antud juhul. Ja piki vertikaaltelge - harmooniliste amplituudid, siin on kõik selge :). Koostame mitteharmoonilise võnkumise signaali amplituudispektri, mida käsitlesime näitena artikli alguses. Lubage mul teile meelde tuletada, et selle Fourier-seeria laiendus näeb välja selline:
Meil on kaks harmoonilist, mille amplituudid on vastavalt 2 ja 1,5. Seetõttu on diagrammil kaks joont, mille pikkused vastavad harmooniliste võnkumiste amplituudidele.
Signaali faasispekter on konstrueeritud sarnaselt, ainsaks erinevuseks on see, et kasutatakse harmooniliste algfaase, mitte amplituude.
Niisiis, oleme välja mõelnud signaali amplituudspektri ehituse ja analüüsi, liigume edasi tänase artikli järgmise teema juurde - amplituud-sagedusreaktsiooni mõiste.
Amplituud-sagedusreaktsioon (AFC).
Sageduskarakteristik on paljude vooluahelate ja seadmete – filtrite, helivõimendite jne – kõige olulisem omadus. Isegi lihtsatel kõrvaklappidel on oma amplituud-sageduskarakteristikud. Mida see näitab?
Sagedusreaktsioon on väljundsignaali amplituudi sõltuvus sisendsignaali sagedusest.
Nagu artikli esimeses osas selgus, saab mitteharmoonilise perioodilise signaali laiendada Fourier' seeriaks. Kuid nüüd huvitab meid peamiselt helisignaal ja see näeb välja selline: 
Nagu näete, ei räägi me siin mingist perioodilisusest :) Kuid õnneks on olemas spetsiaalsed algoritmid, mis võimaldavad teil esitada helisignaali selles sisalduva sagedusspektri kujul. Me ei analüüsi neid algoritme praegu üksikasjalikult, see on eraldi artikli teema, me lihtsalt nõustume tõsiasjaga, et need võimaldavad meil sellist teisendust helisignaaliga läbi viia :)
Vastavalt sellele saame koostada helisignaali amplituudispektri diagrammi. Ja pärast mis tahes vooluringi läbimist (näiteks heli esitamisel kõrvaklappide kaudu) muutub signaal. Seega näitab amplituud-sageduskarakteristikud just seda, milliseid muutusi sisendsignaal konkreetse ahela läbimisel läbib. Räägime sellest punktist veidi üksikasjalikumalt...
Niisiis, sisendis on meil rida harmoonilisi. Amplituud-sageduskarakteristik näitab, kuidas konkreetse harmoonilise amplituud ahelat läbides muutub. Vaatame sagedusreaktsiooni näidet:
Mõtleme samm-sammult välja, mida siin näidatakse... Alustame sageduskarakteristiku graafiku telgedest. Y-teljel joonistame väljundpinge (või võimenduse, nagu sellel joonisel) väärtuse. Me paneme võimenduse vastavalt dB-desse, väärtus 0 dB vastab ühekordsele võimendusele, see tähendab, et signaali amplituud jääb muutumatuks. X-telg tähistab sisendsignaali sagedusi. Seega ei muutu vaadeldaval juhul amplituud kõigi harmooniliste puhul, mille sagedused jäävad vahemikku 100 kuni 10000 Hz. Ja kõigi teiste harmooniliste signaalid nõrgenevad.
Graafikul on eraldi märgitud sagedused ja – nende eristav omadus on see, et nende sageduste harmooniline signaal nõrgeneb pinges 1,41 korda (3 dB), mis vastab võimsuse 2-kordsele vähenemisele. Sagedusriba ja vahel nimetatakse pääsuribaks. Tekib järgmine olukord: kõigi harmooniliste signaalid, mille sagedused jäävad seadme/ahela ribalaiuse piiresse, nõrgenevad vähem kui 2-kordse võimsuse võrra.
Heliseadmete sagedusvahemik jaguneb tavaliselt madalateks, keskmisteks ja kõrgeteks sagedusteks. See näeb umbes selline välja:
- 20 Hz – 160 Hz – madala sagedusega piirkond
- 160 Hz – 1,28 KHz – keskmise sagedusega piirkond
- 1,28 KHz – 20,5 KHz – kõrgsageduspiirkond
Just sellist terminoloogiat võib tavaliselt leida erinevatest heli reguleerimiseks kasutatavatest ekvalaiseriprogrammidest. Nüüd teate, et selliste programmide ilusad graafikud on just need amplituud-sagedusomadused, mida me tänases artiklis kohtasime :)
Artikli lõpus vaatame paari tarkvara ekvalaiseris saadud sagedusreaktsiooni:
Siin näeme võimendi amplituud-sagedusreaktsiooni. Lisaks võimendatakse peamiselt kesksageduslikke sagedusi.
Kuid siin on olukord täiesti erinev - madalaid ja kõrgeid sagedusi võimendatakse ning sagedusega 500 Hz harmooniliste keskmise sageduse piirkonnas täheldame märkimisväärset sumbumist.
Kuid siin võimendatakse ainult madalaid sagedusi. Sellise sageduskarakteristikuga heliseadmetel on kõrge tase bass :)
See lõpetab meie tänase artikli, täname teid tähelepanu eest ja ootame teid taas meie veebisaidil!
2.1. Perioodiliste signaalide spektrid
Perioodiline signaal (vool või pinge) on teatud tüüpi mõju, kui signaali kuju korratakse teatud ajaintervalli järel. T, mida nimetatakse perioodiks. Lihtsaim vorm Perioodiline signaal on harmooniline signaal ehk sinusoid, mida iseloomustavad amplituud, periood ja algfaas. Kõik muud signaalid tulevad mitteharmooniline või mittesinusoidne. Võib näidata ja praktika tõestab, et kui toiteallika sisendsignaal on perioodiline, siis on perioodilised ka kõik muud voolud ja pinged igas harus (väljundsignaalid). Sel juhul erinevad signaali kujud erinevates harudes üksteisest.
Perioodiliste mitteharmooniliste signaalide (sisendmõjud ja nende reaktsioonid) uurimiseks elektriahelas on olemas üldine tehnika, mis põhineb signaalide laiendamisel Fourier' jadaks. See tehnika seisneb selles, et alati on võimalik valida harmooniliste (st siinusekujuliste) signaalide jada sellise amplituudi, sageduse ja algfaasiga, mille ordinaatide algebraline summa on igal ajal võrdne ordinaadiga. uuritav mittesinusoidne signaal. Nii näiteks pinge u joonisel fig. 2.1. võib asendada pingete summaga ja , kuna igal ajahetkel on identne võrdsus: 
. Iga termin on sinusoid, mille sagedus on seotud perioodiga T täisarvu suhted.
Vaadeldava näite puhul on meil esimese harmoonilise periood, mis langeb kokku mitteharmoonilise signaali perioodigaT 1 = T, ja teise harmoonilise periood on kaks korda väiksemT 2 = T/2, st. harmoonilised hetkeväärtused tuleks kirjutada kujul:
|
|
|
Siin on harmooniliste võnkumiste amplituudid üksteisega võrdsed ( 
) ja algfaasid on null.
Riis. 2.1. Näide esimese ja teise harmoonilise liitmisest
mitteharmooniline signaal
Elektrotehnikas nimetatakse harmoonilist komponenti, mille periood on võrdne mitteharmoonilise signaali perioodiga esiteks või põhilised signaali harmooniline. Kõiki teisi komponente nimetatakse kõrgemate harmooniliste komponentideks. Harmooniline, mille sagedus on k korda suurem kui esimene harmooniline (ja periood vastavalt k korda väiksem), nimetatakse
k – harmooniline. Samuti eristatakse funktsiooni keskmist väärtust perioodi jooksul, mida nimetatakse null harmooniline. Üldjuhul kirjutatakse Fourier' jada lõpmatu arvu erinevate sagedustega harmooniliste komponentide summana:
|
|
(2.1) |
kus k on harmooniline arv; - k-nda harmoonilise nurksagedus;
ω 1 = ω = 2 π / T- esimese harmoonilise nurksagedus; - null harmooniline.
Sageli esinevate vormide signaalide jaoks võib Fourier' seeria laiendust leida erialakirjandusest. Tabelis 2 on toodud kaheksa perioodilise lainekuju lagunemised. Tuleb märkida, et tabelis 2 toodud laiendused toimuvad, kui koordinaatsüsteemi alguspunkt on valitud nii, nagu on näidatud vasakpoolsetel joonistel; kellaaja alguse muutmisel t harmooniliste algfaasid muutuvad, kuid harmooniliste amplituudid jäävad samaks. Sõltuvalt uuritava signaali tüübist tuleks V all mõista kas voltides mõõdetavat väärtust, kui see on pingesignaal, või väärtust mõõdetuna amprites, kui see on voolusignaal.
Perioodiliste funktsioonide Fourier-seeria laiendus
tabel 2
|
Ajakava f(t) |
Fourier funktsioonide jadaf(t) |
Märge |
|
|
k=1,3,5,... |
|
|
|
k=1,3,5,... |
|
|
|
k=1,3,5,... |
|
|
|
k = 1,2,3,4,5 |
|
|
|
k=1,3,5,... |
|
|
|
k = 1,2,3,4,5 |
|
|
|
|
S=1,2,3,4,.. |
|
|
k = 1,2,4,6,.. |
Signaalid 7 ja 8 genereeritakse sinusoidist klapielemente kasutavad ahelad.
Harmooniliste komponentide kogumit, mis moodustavad mittesinusoidse signaali, nimetatakse selle mitteharmoonilise signaali spektriks. Sellest harmooniliste komplektist eraldatakse ja eristatakse neid amplituud Ja faas ulatus. Amplituudispekter on kõigi harmooniliste amplituudide kogum, mis on tavaliselt kujutatud diagrammi kujul vertikaalsete joonte komplekti kujul, mille pikkused on võrdelised (valitud skaalal) harmoonilise amplituudi väärtustega. komponendid ja koht horisontaalteljel määratakse selle komponendi sageduse (harmoonilise numbri) järgi. Samamoodi käsitletakse faasispektreid kõigi harmooniliste algfaaside kogumina; neid näidatakse ka mõõtkavas vertikaalsete joonte komplektina.
Tuleb märkida, et elektrotehnika algfaasid mõõdetakse tavaliselt vahemikus –180 0 kuni +180 0. Nimetatakse üksikutest joontest koosnevaid spektreid lineaarne või diskreetne. Spektrijooned on kaugel füksteisest, kus f- sagedusvahemik, mis on võrdne esimese harmoonilise sagedusega f Seega on perioodiliste signaalide diskreetsetel spektritel mitme sagedusega spektrikomponendid - f, 2f, 3f, 4f, 5f jne.
Näide 2.1. Leidke ristkülikukujulise signaali amplituud ja faasispekter, kui positiivse ja negatiivse signaali kestused on võrdsed ja funktsiooni keskmine väärtus perioodi jooksul on null
|
u(t) = Vat0<t<T/2 |
u(t) = -Vat T/2<t<T |
Lihtsate, sageli kasutatavate vormide signaalide jaoks on soovitatav lahendus leida tabelite abil.
Riis. 2.2. Ristkülikukujulise signaali joone amplituudi spekter
Ristkülikukujulise signaali Fourier-jada laiendusest (vt tabel 2 - 1) järeldub, et harmooniliste jada sisaldab ainult paarituid harmoonilisi, samal ajal kui harmooniliste amplituudid vähenevad võrdeliselt harmooniliste arvuga. Harmooniliste amplituudjoonte spekter on näidatud joonisel fig. 2.2. Konstrueerimisel eeldatakse, et esimese harmoonilise (siin pinge) amplituud on võrdne ühe voltiga: B; siis on kolmanda harmoonilise amplituud võrdne B-ga, viienda - B jne. Kõigi signaali harmooniliste algfaasid on nulliga võrdsed, seetõttu on faasispektris ainult null-ordinaatväärtused.
Probleem on lahendatud.
Näide 2.2.Leidke amplituud ja faasispekter pingele, mis varieerub vastavalt seadusele: at - T/4<t<T/4; u(t) = 0 at T/4<t<3/4T. Selline signaal genereeritakse sinusoidist, elimineerides (klapielemente kasutava vooluringi abil) harmoonilise signaali negatiivse osa.
a)b)
Riis. 2.3. Poollaine alaldussignaali joonspekter: a) amplituud; b) faas
Siinuspingega poollaine alaldussignaali jaoks (vt tabelid 2–8) sisaldab Fourier' seeria konstantset komponenti (nullharmooniline), esimest harmoonilist ja seejärel ainult paarisharmooniliste komplekti, mille amplituudid vähenevad kiiresti harmoonilise arvu suurenemine. Kui paneme näiteks väärtuseks V = 100 V, siis korrutades iga liikme ühisteguriga 2V/π leiame(2.2)
Selle signaali amplituud ja faasispektrid on näidatud joonistel 2.3a, b.
Probleem on lahendatud.
Vastavalt Fourier' jadate teooriale esineb mitteharmoonilise signaali täpne võrdsus harmooniliste summaga ainult lõpmata suure hulga harmooniliste korral. Harmooniliste komponentide arvutamine arvutis võimaldab analüüsida mis tahes arvu harmoonilisi, mille määrab arvutuse eesmärk, mitteharmoonilise efekti täpsus ja vorm. Kui signaali kestust olenemata selle vormist, palju vähem kui periood T, siis harmooniliste amplituudid vähenevad aeglaselt ja signaali täielikumaks kirjeldamiseks on vaja arvesse võtta paljusid seeria termineid. Seda funktsiooni saab jälgida tabelis 2 - 5 ja 6 esitatud signaalide puhul, kui tingimus on täidetud τ <<T. Kui mitteharmooniline signaal on kujult sinusoidile lähedane (näiteks signaalid 2 ja 3 tabelis 2), siis harmoonilised vähenevad kiiresti ning signaali täpseks kirjeldamiseks piisab, kui piirduda kolme kuni viiega. sarja harmoonilised.
Harmoonikute hulka, mis moodustavad trigonomeetrilisel kujul Fourier' jada (4.10), nimetatakse perioodilise signaali spekter ja amplituudide komplektid Umk ja nende harmooniliste algfaasid – spektrid amplituudid ja faasid. Iga harmooniline:
saab kuvada kahe vertikaalse joonega. Selleks on vaja ühele sagedusteljele joonistada selle harmoonilise sageduse väärtus ja tõmmata vertikaalne joon kõrgusega harmoonilise amplituudiga, siis teisele sagedusteljele sama harmoonilise sagedusel joonistada. teine vertikaaljoon, mille kõrgus on võrdne harmoonilise algfaasiga.
Fourier' seeriat (4.3) saab ümber kirjutada kui
Arvestades, et koosinusfunktsioon on perioodiga perioodiline 2 = 360°, s.o. selle väärtusi korratakse iga 360° järel; harmooniliste komponentide faasist saab lahutada täisarvu perioodide arvu. Siis saame sarja kirjutamise teise vormi (4.3):
Neid seeriaid saab graafiliselt kujutada. Selle signaali harmoonilised, mis sisalduvad valemis (4.3), on näidatud ajastusskeemidel joonisel fig. 4.1, b-d. Teine viis Fourier' seeria komponentide graafiliseks esitamiseks signaali jaoks joonisel fig. 4.1 ja näidatud joonisel fig. 4,5, A–V. Harmooniliste amplituudid vähenevad vastavalt seadusele , Kus P- harmooniliste arv ja harmooniliste faasid muutuvad vastavalt seadusele n kus on esimese harmoonilise faas.
Perioodilise ristkülikukujuliste impulsside jada puhul, mida on nihutatud neljandiku võrra (joonis 4.3, A) Fourier' seeria valemit (4.6) saab muuta, kui meeles pidada, et harmoonilise võnkumise ees olev miinusmärk tähendab võnke faasipööret 180°:
Riis. 4.5. Signaali harmooniliste amplituudid ja faasid (4.12) ja (4.13)
Seeria (4.14) võnkumiste algfaasid võtavad vaheldumisi väärtusi 0 ja 180°. Seeria (4.14) graafiline esitus on toodud joonisel fig. 4.5, a ja b.
Vertikaalsed jooned joonisel fig. Nimetati 4,5 ja 4,6 spektrijooned, ja nende joonte hulgad või, mis on sama, faasiharmooniliste amplituudide komplektid punktis (4.10) amplituudi- ja faasispektrid sellest signaalist.
Riis. 4.6. Signaali harmooniliste amplituudid ja faasid (4.14)
Raadioinsenerid tunnevad instrumente – spektrianalüsaatoreid, mis reageerivad igale harmoonilisele, mis on osa keerulise kujuga signaalist, ja võimaldavad neid mõõta.
Seega on amplituudispekter harmooniliste amplituudide kogum , , , ... (kaasa arvatud konstantsed ja põhikomponendid), mis sisalduvad Fourier' seerias, kirjutatud trigonomeetrilises vormis (4.10), ja faasispekter on nende harmooniliste algfaaside komplekt,, .... Komplekssed amplituudid (4.12) moodustavad signaali kompleksspektri u(t).
Perioodiliste signaalide spektraalse (harmoonilise) koostise analüüs on Fourier' jada harmooniliste komponentide amplituudide ja algfaaside arvutamine. Tavaliselt kasutatakse nende suuruste arvutamiseks Fourier' rea kirjutamise vormi (4.2):
Näitame, et tähistusvorm (4.15) samaväärne noodivorm (4.7).
Ülaltoodud arutluskäigust järeldub, et signaali spektraalse koostise analüüsimiseks piisab, kui oskate arvutada suurusi. , U" mn Ja U’ mn avaldises (4.15).
Valemitest (4.2) teame, et rea konstantne komponent arvutatakse funktsiooni keskmise väärtusena:
Koefitsiendid U" mk Ja U"" mk arvutatakse kaalutud keskmistena kaaludega cos k ja patt vastavalt:
Sest, 
See
Euleri valemi kasutamine
Lõpuks saame signaali kompleksse spektri avaldise:
Signaali spektrit ei mõjuta mitte ainult signaali kuju, vaid ka selle parameetrid. Seda efekti on kõige parem kaaluda konkreetse näite abil ja kõige lihtsamalt ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada näitel. Üsna üldisel juhul on see järjestus näidatud joonisel fig. 4,7, A. Näidatud on pulsi kordumise periood T", ja perioodi ja impulsi kestuse suhet nimetatakse töötsükliks ja määrata.
Fourier' seeria koefitsientide arvutamine trigonomeetrilisel kujul valemite (4.16) - (4.18) abil viib meid kirjeni (vt tabel 4.1)
Kus U 0 =U/ q Ja
Riis. 4.7. Ristkülikukujuliste impulsside perioodiline jada töötsükliga q= 3 ja selle spekter
Sellise perioodilise jada amplituudispekter koos töötsükliga q= 3 on näidatud joonisel fig. 4,7, b.
Väärtustega k, töötsükli kordajad q impulsi jada, funktsioon võtab nullväärtusi ja nende arvudega harmoonilistel on null amplituudi (meie näites k= 3,6, 9, ...). Esimese harmoonilise sagedus määratakse valemiga
Harmoonikute jaoks numbritega k, mille amplituud on positiivne, on faasinurk null; harmooniliste jaoks numbritega k, mille väärtus osutub negatiivseks, võtab faasinurk väärtuseks 180° (joonis 4.7, c).
Vaatleme selliste parameetrite ristkülikukujuliste impulsside jada mõju spektrile nagu impulsi periood ja kestus.
Põhiharmooniku sagedus sõltub eelkõige perioodist, s.o. selle asukoht spektris. Kui me näiteks suurendame impulsside jada perioodi (joonis 4.7, A), siis esimese harmoonilise sagedus väheneb.
See toob kaasa spektrijoonte paksenemise (joonis 4.8, b Ja V). Impulsside töötsükkel suureneb ka perioodi suurenedes (meie näites q= 5), seega harmoonilised suuremate arvudega, kordsed q (k= 5, 10, 15, ...). Kõikide harmooniliste amplituudid vähenevad.
Riis. 4.8. Ristkülikukujuliste impulsside jada töötsükliga q= 5 ja selle spekter
Teisest küljest, kui jadaperiood jäetakse muutmata (näiteks ) ja näiteks impulsi kestust vähendatakse (näiteks väärtuseni , nagu joonisel fig. 4.9, A), siis esimene harmooniline ei muuda oma asukohta signaali spektris. Kui töötsükkel suureneb, nullivad harmoonilised, mille arvud jaguvad nendega, nagu varemgi. q (Joonisel 4.8, b juures k= 5,10,15,… ).
Riis. 4.9. Impulsi kestuse mõju signaali spektrile
Riis. 4.10. Impulsi kestuse ja kordusperioodi mõju signaali spektrile
Joonisel fig. 4.10 näitab juhtumit, kui nii impulsi perioodi kui ka kestust muudeti. Kutsume lugejaid seda olukorda ise analüüsima. Samuti on toodud näited perioodiliste signaalide arvutamise ülesannete lahendamisest.
Kuigi oleme analüüsinud üsna konkreetseid näiteid, täheldatakse spektri iseloomulikku käitumist ka teist tüüpi perioodiliste impulsside jadade puhul. See koosneb järgmistest osadest:
Järjestuse perioodi pikenedes T esimese harmoonilise sagedus väheneb ja spektrijooned muutuvad tihedamaks; vastupidi, perioodi vähenedes suureneb esimese harmoonilise sagedus ja spektrijooned muutuvad harvemaks;
Mida lühemad on impulsid järjestuses, seda aeglasemalt vähenevad need arvu suurenedes P harmoonilised amplituudid; vastupidi, mida laiemad on impulsid, seda kiiremini langevad kõrgemate harmooniliste amplituudid.
Punktis 4.2 toodud materjalide põhisätted.
Signaali kutsutakse perioodiline, kui selle vorm kordub ajas tsükliliselt. Perioodiline signaal üldkujul kirjutatakse järgmiselt:
Siin on signaali periood. Perioodilised signaalid võivad olla kas lihtsad või keerulised.
Perioodiliste signaalide matemaatiliseks esitamiseks perioodiga kasutatakse sageli seda seeriat, milles põhifunktsioonidena valitakse mitme sagedusega harmoonilised (siinus ja koosinus) võnkumised:
Kus. - funktsioonide jada peamine nurksagedus. Harmooniliste baasfunktsioonide jaoks saame sellest seeriast Fourier' jada, mille saab kõige lihtsamal juhul kirjutada järgmisel kujul:
kus on koefitsiendid
Fourier' seeriast selgub, et üldiselt sisaldab perioodiline signaal põhisageduse ja selle harmooniliste sagedustega konstantset komponenti ja harmooniliste võnkumiste kogumit. Iga Fourier' seeria harmoonilist võnkumist iseloomustab amplituud ja algfaas.
Perioodilise signaali spektraaldiagramm ja spekter.
Kui mis tahes signaal esitatakse erinevate sagedustega harmooniliste võnkumiste summana, tähendab see, et spektraalne lagunemine signaal.
Spektraaldiagramm signaal on selle signaali Fourier-seeria koefitsientide graafiline esitus. Seal on amplituudi- ja faasidiagrammid. Nende diagrammide koostamiseks kantakse harmooniliste sageduste väärtused teatud skaalal piki horisontaaltelge ning nende amplituudid ja faasid joonistatakse piki vertikaaltelge. Veelgi enam, harmooniliste amplituudid võivad võtta ainult positiivseid väärtusi, faasid võivad võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi vahemikus .
Perioodilise signaali spektraaldiagrammid:
a) - amplituud; b) - faas.
Signaali spekter- see on harmooniliste komponentide komplekt kindlate sageduste, amplituudide ja algfaaside väärtustega, mis koos moodustavad signaali. Praktikas nimetatakse spektraaldiagramme lühemalt - amplituudi spekter, faasispekter. Suurimat huvi pakub amplituudi spektraaldiagramm. Seda saab kasutada spektris harmooniliste protsendi hindamiseks.
Spektriomadused mängivad suurt rolli. Teades signaali spektrit, saate õigesti arvutada ja määrata võimendite, filtrite, kaablite ja muude sidekanalite sõlmede ribalaiust. Signaalispektrite tundmine on vajalik mitme kanaliga sagedusjaotusega süsteemide ehitamiseks. Ilma häirete spektri teadmata on raske võtta meetmeid selle summutamiseks.
Sellest saame järeldada, et moonutusteta signaaliedastuseks üle sidekanali, signaalide eraldatuse tagamiseks ja häirete vähendamiseks peab olema teada spekter.
Signaalide spektrite vaatlemiseks on seadmed nn spektrianalüsaatorid. Need võimaldavad teil jälgida ja mõõta perioodilise signaali spektri üksikute komponentide parameetreid, samuti mõõta pideva signaali spektri tihedust.
Selles jaotises vaatleme kahe muutujaga aegridade kirjeldamist sageduspiirkonnas. Näidatakse, et eelmises jaotises käsitletud valimi ristkovariantsi funktsioonil on Fourier' teisendus, mida nimetatakse valimi ristspektriks. See spekter on kompleksväärtusega funktsioon, mille saab kirjutada reaalfunktsiooni, mida nimetatakse valimi ristamplituudispektriks, ja kompleksväärtusega funktsiooni, mida nimetatakse valimifaasi spektriks, korrutisena. Samamoodi nimetatakse teoreetilise ristkovariantsi funktsiooni Fourier' teisendust ristspektriks. Seda saab esitada vastastikuse amplituudi ja faasispektri korrutisena. Ristamplituudispekter näitab, kui suured on kahe seeria sidestatud sageduskomponentide amplituudid teatud sagedusel. Samamoodi näitab faasispekter, kui palju sellise komponendi faasiviivitus või edasiminek ühes seerias on antud sagedusel teise seeria vastavaks komponendiks. Järgmises osas on toodud näited vastastikuste amplituudi- ja faasispektrite kohta, mis on saadud kahemõõtmelise lineaarse protsessi (8.1.14) ristspektrist. Seejärel tutvustatakse vastastikusest amplituudispektrist mõnevõrra kasulikumat kontseptsiooni, nimelt koherentsusspektrit. Näitame, et koherentsuse spekter ja faasispekter annavad kahemõõtmelise normaalse juhusliku protsessi täieliku kirjelduse.
8.3.1. Fourier' analüüsi rakendamine kahemõõtmelistele aegridadele
Fourier analüüsi saab rakendada kahemõõtmelistele aegridadele samamoodi kui ühemõõtmelistele aegridadele. Oletame näiteks, et on kaks sama sagedusega, kuid erineva amplituudi ja faasiga koosinuslainet, s.t.
Kui saadaolevate kirjete pikkus on võrdne T-ga, siis (2.2.11) abil saame Fourier' teisenduse
Seega on nende kahe signaali näidisspektrid (6.1.6) võrdsed
Need väljendid kipuvad
Seega jaotatakse koosinuslaine dispersioon ehk keskmine võimsus -funktsioonidena sagedustel
Oletame nüüd, et tahame kirjeldada kahe koosinuslaine kovariatsiooni. Sellisel juhul on loomulik kasutada diskreeditud ristvõimsusspektrit või lühidalt diskreedi ristspektrit.
kus tärn tähistab keerulist konjugatsiooni. Asendades (8.3.2) väärtusega (8.3.3), leiame, et kahe koosinuslaine vastastikune valimispekter on võrdne
mis kipub
Definitsioon (8.3.3) on loomulik, kuna see sisaldab kogu teavet kahe signaali sõltuvuse kohta. Konkreetse koosinuslainete puhul näitab võrdsus (8.3.5), et see teave koosneb faaside erinevusest, mis näitab, kui palju üks koosinuslainetest on teisest ees, ja vastastikusest amplituudist, mis näitab, kui suur on vastav kahe signaali amplituudid on antud sagedusel.
Valitud faasi- ja selektiivsed vastastikused amplituudispektrid.Üldisemalt eeldame suvalisi reaalsignaale vastavalt Fourier' teisendustega. Need teisendused annavad signaalide amplituudi ja faasijaotuse, st.
kus on mittenegatiivne paarisfunktsioon ja on paaritu funktsioon. Vastavalt (8.3.3) on valimi ristspekter sel juhul võrdne
mille saab kirjutada ka vormis
Seetõttu saab kahe seeria kovariatsiooni kirjeldada proovi faasispektri abil
ja selektiivne ristamplituudispekter
Valimiga faasispekter näitab, kas ühe seeria sageduskomponent on samal sagedusel teise seeria komponendist taga või ees. Samamoodi näitab proovi ristamplituudispekter, kui suured on vastavate komponentide amplituudid teatud sagedusel kahes jadas. Pange tähele, et - on mittenegatiivne paarisfunktsioon ja - on sageduse paaritu funktsioon.
Näidisspekter ja kvadratuurspekter. Kuna (8.3.8) funktsioon on kompleksväärtusega, saab selle kirjutada amplituudi- ja faasifunktsioonide korrutisena, nagu (8.3.7). Avaldise (8.3.8) saab kirjutada muul kujul, eraldades tegeliku ja kujutlusliku osa:
Pange tähele, et - paaris, - sageduse paaritu funktsioon, kuna - paaris, - paaritu funktsioon. Illustreerimiseks vaatleme ülaltoodud näidet kahemõõtmelise koosinuslainega.
