Kahenurkne nurk on kujund, mille moodustab sirgjoon. Tasapindade vahelise nurga leidmine (kahekujuline nurk)
Geomeetrias kasutatakse kujundite uurimiseks kahte olulist tunnust: külgede pikkused ja nendevahelised nurgad. Ruumikujude puhul lisatakse nendele tunnustele kahetahulised nurgad. Vaatame, mis see on, ja kirjeldame ka nende nurkade määramise meetodit püramiidi näitel.
Dihedraalnurga mõiste
Kõik teavad, et kaks lõikuvat sirget moodustavad nende lõikepunktis oleva tipuga teatud nurga. Seda nurka saab mõõta protraktori abil või selle arvutamiseks kasutada trigonomeetrilisi funktsioone. Kahe täisnurga moodustatud nurka nimetatakse lineaarseks.
Kujutage nüüd ette, et kolmemõõtmelises ruumis on kaks tasapinda, mis lõikuvad sirgjooneliselt. Need on näidatud pildil.
Kahepoolne nurk on nurk kahe ristuva tasandi vahel. Nii nagu lineaarne, mõõdetakse seda kraadides või radiaanides. Kui mis tahes punkti joonel, mida mööda tasapinnad ristuvad, taastame kaks neil tasapindadel asuvat risti, siis on nende vaheline nurk soovitud kahetahuliseks. Lihtsaim viis selle nurga määramiseks on kasutada tasandite võrrandeid üldkujul.
Tasapindade võrrand ja nendevahelise nurga valem
Ruumi mis tahes tasapinna võrrand kirjutatakse tavaliselt järgmiselt:
A × x + B × y + C × z + D = 0.
Siin on x, y, z tasapinnale kuuluvate punktide koordinaadid, koefitsiendid A, B, C, D on mõned teadaolevad arvud. Selle võrdsuse mugavus kahetahuliste nurkade arvutamisel seisneb selles, et see sisaldab selgesõnaliselt tasapinna suunavektori koordinaate. Tähistame selle n¯. Seejärel:
Vektor n¯ on tasapinnaga risti. Nurk kahe tasandi vahel on võrdne nende n 1 ¯ ja n 2 ¯ vahelise nurgaga. Matemaatikast on teada, et kahe vektori moodustatud nurk määratakse üheselt nende skalaarkorrutisest. See võimaldab meil kirjutada valemi kahe tasandi vahelise kahetahulise nurga arvutamiseks:
φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).
Kui asendame vektorite koordinaadid, kirjutatakse valem selgesõnaliselt:
φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √ (A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).
Mooduli märki lugejas kasutatakse ainult teravnurga määratlemiseks, kuna kahetahuline nurk on alati väiksem kui 90 o või sellega võrdne.
Püramiid ja selle nurgad
Püramiid on kujund, mis on moodustatud ühest n-nurgast ja n kolmnurgast. Siin on n täisarv, mis on võrdne püramiidi aluseks oleva hulknurga külgede arvuga. See ruumikujund on hulktahukas või hulktahukas, kuna see koosneb tasapinnalistest tahkudest (külgedest).
Püramiidpolüeedreid võib olla kahte tüüpi:
- aluse ja külje vahel (kolmnurk);
- kahe poole vahel.
Kui vaatleme tavalist püramiidi, siis pole selle jaoks nimetatud nurki raske määrata. Selleks peaksite kolme teadaoleva punkti koordinaatide abil looma tasandite võrrandi ja seejärel kasutama ülaltoodud lõigus toodud valemit nurga φ jaoks.
Allpool toome näite, milles näitame, kuidas leida tavalise nelinurkse püramiidi põhjast kahetahulisi nurki.
Nelinurkne ja nurk selle aluses
Oletame, et meile on antud tavaline ruudukujulise põhjaga püramiid. Ruudu külje pikkus on a, kujundi kõrgus on h. Leiame nurga püramiidi aluse ja selle külje vahel.
Asetame koordinaatsüsteemi alguspunkti ruudu keskele. Siis on joonisel näidatud punktide A, B, C, D koordinaadid võrdsed:
A = (a/2; -a/2; 0);
B = (a/2; a/2; 0);
C = (-a/2; a/2; 0);
Vaatleme lennukeid ACB ja ADB. Ilmselt on tasapinna ACB suunavektor n 1 ¯ võrdne:
ADB tasandi suunavektori n 2 ¯ määramiseks toimime järgmiselt: leiame suvalised kaks sinna kuuluvat vektorit, näiteks AD¯ ja AB¯, seejärel arvutame nende vektorkorrutise. Selle tulemus annab koordinaadid n 2 ¯. Meil on:
AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);
AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);
n 2 = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).
Kuna vektori arvuga korrutamine ja jagamine ei muuda selle suunda, siis teisendame saadud n 2 ¯, jagades selle koordinaadid -a, saame:
Oleme defineerinud suunavektorid n 1 ¯ ja n 2 ¯ baastasandite ACB ja külgtasandi ADB jaoks. Jääb üle kasutada nurga φ valemit:
φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = kaared (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).
Teisendame saadud avaldise ja kirjutame selle ümber järgmiselt:
φ = arccos (a / √(a 2 + 4 × h 2)).
Oleme saanud tavalise nelinurkse püramiidi aluse kahetahulise nurga valemi. Teades joonise kõrgust ja selle külje pikkust, saate arvutada nurga φ. Näiteks Cheopsi püramiidi puhul, mille aluse külg on 230,4 meetrit ja algkõrgus 146,5 meetrit, võrdub nurk φ 51,8 o.
Geomeetrilise meetodi abil saate määrata ka nelinurkse korrapärase püramiidi kahetahulise nurga. Selleks piisab, kui vaadelda täisnurkset kolmnurka, mille moodustab kõrgus h, pool aluse pikkusest a/2 ja võrdhaarse kolmnurga apoteem.
ÕPPETUNNI TEKST:
Planimeetrias on peamised objektid jooned, lõigud, kiired ja punktid. Ühest punktist lähtuvad kiired moodustavad ühe oma geomeetrilistest kujunditest – nurga.
Teame, et lineaarnurka mõõdetakse kraadides ja radiaanides.
Stereomeetrias liidetakse objektidele tasapind. Figuuri, mis on moodustatud sirgjoonest a ja kahest ühise piiriga a pooltasapinnast, mis geomeetrias ei kuulu samale tasapinnale, nimetatakse kahetahuliseks nurgaks. Pooltasandid on kahetahulise nurga tahud. Sirgjoon a on kahetahulise nurga serv.
Dihedraalnurka, nagu ka lineaarset nurka, saab nimetada, mõõta ja konstrueerida. Seda peame selles õppetükis välja selgitama.
Leiame kahetahulise nurga ABCD tetraeedri mudelil.
Kahenurkset serva AB nimetatakse CABD-ks, kus punktid C ja D kuuluvad nurga erinevate külgede külge ja serva AB nimetatakse keskele.
Meie ümber on üsna palju objekte, mille elemente on kahetahulise nurga kujul.
Paljudes linnades paigaldatakse parkidesse spetsiaalsed leppimiseks mõeldud pingid. Pink on valmistatud kahe kaldtasandina, mis lähenevad keskpunkti poole.
Majade ehitamisel kasutatakse sageli nn viilkatust. Sellel majal on katus tehtud 90-kraadise kahetahulise nurga kujul.
Dihedraalset nurka mõõdetakse ka kraadides või radiaanides, aga kuidas seda mõõta.
Huvitav on märkida, et majade katused toetuvad sarikatele. Ja sarikakate moodustab etteantud nurga all kaks katusekalle.
Kanname pildi joonisele. Joonisel kahetahulise nurga leidmiseks märgitakse selle servale punkt B. Sellest punktist tõmmatakse nurga servaga risti kaks kiirt BA ja BC. Nende kiirte poolt moodustatud nurka ABC nimetatakse lineaarseks kahetahuliseks nurgaks.
Kahenurkse nurga kraadimõõt on võrdne selle lineaarnurga kraadimõõduga.
Mõõdame nurka AOB.
Antud kahetahulise nurga kraadimõõt on kuuskümmend kraadi.
Kahetaguse nurga jaoks saab joonistada lõpmatu arvu lineaarnurki, oluline on teada, et need kõik on võrdsed.
Vaatleme kahte lineaarset nurka AOB ja A1O1B1. Kiired OA ja O1A1 asuvad samal pinnal ja on risti sirgjoonega OO1, seega on nad kaassuunalised. Talad OB ja O1B1 on samuti ühiselt suunatud. Seetõttu on nurk AOB võrdne nurgaga A1O1B1 kui nurkade kaassuunalised küljed.
Seega iseloomustab kahetahulist nurka lineaarnurk ja lineaarnurgad on teravad, nürinurgad ja täisnurksed. Vaatleme kahetahuliste nurkade mudeleid.
Nürinurk on siis, kui selle lineaarnurk on vahemikus 90–180 kraadi.
Täisnurk, kui selle lineaarnurk on 90 kraadi.
Teravnurk, kui selle lineaarnurk on 0 kuni 90 kraadi.
Tõestame lineaarnurga üht olulist omadust.
Lineaarnurga tasand on risti kahetahulise nurga servaga.
Olgu nurk AOB antud kahetahulise nurga lineaarnurk. Konstruktsiooni järgi on kiired AO ja OB risti sirgjoonega a.
Tasapind AOB läbib kahte ristuvat sirget AO ja OB vastavalt teoreemile: Tasapind läbib kahte ristuvat sirget ja ainult ühte.
Sirg a on risti kahe sellel tasapinnal paikneva lõikuva sirgega, mis tähendab, et sirge ja tasandi ristuvuse alusel on sirge a risti tasapinnaga AOB.
Ülesannete lahendamiseks on oluline osata konstrueerida antud kahetahulise nurga lineaarnurka. Koostage tetraeedri ABCD jaoks kahetahulise nurga lineaarnurk servaga AB.
Jutt käib kahetahulisest nurgast, mille moodustab esiteks serv AB, üks tahk ABD ja teine tahk ABC.
Siin on üks viis selle ehitamiseks.
Joonistame ristnurga punktist D tasapinnale ABC. Märkige ristnurga aluseks punkt M. Tuletame meelde, et tetraeedris langeb risti põhi kokku tetraeedri põhjas oleva sissekirjutatud ringi keskpunktiga.
Joonistame punktist D risti servaga AB kaldjoone, märgime kaldjoone aluseks punkti N.
Kolmnurgas DMN on lõik NM kallutatud DN projektsioon tasapinnale ABC. Kolme risti teoreemi kohaselt on serv AB projektsiooniga NM risti.
See tähendab, et nurga DNM küljed on risti servaga AB, mis tähendab, et konstrueeritud nurk DNM on soovitud lineaarnurk.
Vaatleme näidet kahetahulise nurga arvutamise ülesande lahendamisest.
Võrdhaarne kolmnurk ABC ja korrapärane kolmnurk ADB ei asu samal tasapinnal. Lõik CD on tasandiga ADB risti. Leia kahetahuline nurk DABC, kui AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
DABC kahetahuline nurk on võrdne selle lineaarnurgaga. Ehitame selle nurga.
Joonestame kalde CM risti servaga AB, kuna kolmnurk ACB on võrdhaarne, siis langeb punkt M kokku serva AB keskkohaga.
Sirge CD on risti tasapinnaga ADB, mis tähendab, et see on risti sellel tasapinnal asuva sirgjoonega DM. Ja segment MD on kallutatud CM projektsioon tasapinnale ADV.
Sirge AB on konstruktsiooni järgi risti kaldega CM, mis tähendab, et kolme risti teoreemi järgi on see projektsiooniga MD.
Seega leitakse servale AB kaks risti CM ja DM. See tähendab, et nad moodustavad kahetahulise nurga DABC lineaarnurga CMD. Ja kõik, mida me tegema peame, on see õigest kolmnurgast CDM üles leida.
Seega on segment SM võrdhaarse kolmnurga ACB mediaan ja kõrgus, siis Pythagorase teoreemi järgi on jalg SM võrdne 4 cm.
Täisnurksest kolmnurgast DMB on Pythagorase teoreemi järgi jalg DM võrdne kolme kahe juurega.
Nurga koosinus täisnurksest kolmnurgast on võrdne külgneva jala MD ja hüpotenuusi CM suhtega ja võrdub kolme juurega kolm korda kaks. See tähendab, et nurk CMD on 30 kraadi.
\(\blacktriangleright\) Dihedraalnurk on nurk, mille moodustavad kaks pooltasapinda ja sirgjoon \(a\), mis on nende ühine piir.
\(\blacktriangleright\) Tasapindade \(\xi\) ja \(\pi\) vahelise nurga leidmiseks peate leidma lineaarnurga (ja vürtsikas või otse) kahetahuline nurk, mille moodustavad tasapinnad \(\xi\) ja \(\pi\) :
1. samm: olgu \(\xi\cap\pi=a\) (tasapindade lõikejoon). Tasapinnal \(\xi\) märgime suvalise punkti \(F\) ja joonistame \(FA\perp a\) ;
2. samm: teostage \(FG\perp \pi\) ;
3. samm: TTP järgi (\(FG\) – risti, \(FA\) – kaldu, \(AG\) – projektsioon) on meil: \(AG\perp a\) ;
4. samm: nurka \(\angle FAG\) nimetatakse tasapindade \(\xi\) ja \(\pi\) moodustatud kahetahulise nurga lineaarnurgaks.
Pange tähele, et kolmnurk \(AG\) on täisnurkne.
Pange tähele ka seda, et sel viisil konstrueeritud tasand \(AFG\) on risti mõlema tasapinnaga \(\xi\) ja \(\pi\) . Seetõttu võime seda öelda erinevalt: tasapindadevaheline nurk\(\xi\) ja \(\pi\) on nurk kahe ristuva sirge \(c\in \xi\) ja \(b\in\pi\) vahel, mis moodustavad tasandiga risti ja \(\xi\ ) ja \(\pi\) .
Ülesanne 1 #2875
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
Antud on nelinurkne püramiid, mille kõik servad on võrdsed ja mille alus on ruut. Leidke \(6\cos \alpha\) , kus \(\alpha\) on selle külgnevate külgpindade vaheline nurk.
Olgu \(SABCD\) antud püramiid (\(S\) on tipp), mille servad on võrdsed \(a\) . Järelikult on kõik külgpinnad võrdsed võrdkülgsed kolmnurgad. Leiame tahkude \(SAD\) ja \(SCD\) vahelise nurga.
Teeme \(CH\perp SD\) . Sest \(\kolmnurk SAD=\kolmnurk SCD\), siis on \(AH\) ka \(\triangle SAD\) kõrgus. Seetõttu on definitsiooni järgi \(\angle AHC=\alpha\) kahetahulise nurga lineaarnurk tahkude \(SAD\) ja \(SCD\) vahel.
Kuna alus on ruut, siis \(AC=a\sqrt2\) . Pange tähele ka seda, et \(CH=AH\) on võrdkülgse kolmnurga kõrgus küljega \(a\), seega \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Seejärel koosinusteoreemiga \(\kolmnurk AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Vastus: -2
Ülesanne 2 #2876
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
Tasapinnad \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) lõikuvad nurga all, mille koosinus on võrdne \(0,2\). Tasapinnad \(\pi_2\) ja \(\pi_3\) lõikuvad täisnurga all ning tasandite \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) lõikejoon on paralleelne tasandite lõikejoonega. tasapinnad \(\pi_2\) ja \(\ pi_3\) . Leidke tasandite \(\pi_1\) ja \(\pi_3\) vahelise nurga siinus.
Olgu \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) lõikejoon sirge \(a\), \(\pi_2\) ja \(\pi_3\) lõikejoon sirge joon \(b\) ning lõikejoon \(\pi_3\) ja \(\pi_1\) – sirge \(c\) . Kuna \(a\parallel b\) , siis \(c\parallel a\parallel b\) (vastavalt teoreemile teoreetilise viite jaotisest "Geomeetria ruumis" \(\rightarrow\) "Sissejuhatus stereomeetriasse, paralleelsus”).
Märgistame punktid \(A\in a, B\in b\) nii, et \(AB\perp a, AB\perp b\) (see on võimalik, kuna \(a\paralleel b\) ). Märgistame \(C\in c\) nii, et \(BC\perp c\) , seega \(BC\perp b\) . Seejärel \(AC\perp c\) ja \(AC\perp a\) .
Tõepoolest, kuna \(AB\perp b, BC\perp b\) , siis \(b\) on risti tasapinnaga \(ABC\) . Kuna \(c\parallel a\parallel b\), siis on sirged \(a\) ja \(c\) samuti risti tasapinnaga \(ABC\) ja seega mis tahes sirgega sellelt tasapinnalt, eriti , rida \ (AC\) .
Sellest järeldub \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Selgub, et \(\kolmnurk ABC\) on ristkülikukujuline, mis tähendab \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]
Vastus: 0,2
Ülesanne 3 #2877
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
Antud sirged \(a, b, c\), mis lõikuvad ühes punktis ja nurk nende kahe vahel on võrdne \(60^\circ\) . Leidke \(\cos^(-1)\alpha\) , kus \(\alpha\) on nurk joonte \(a\) ja \(c\) moodustatud tasandi ning joonte \( b\ ) ja \(c\) . Esitage oma vastus kraadides.
Olgu sirged ristuvad punktis \(O\) . Kuna nende kahe vaheline nurk on võrdne \(60^\circ\), ei saa kõik kolm sirget asuda samal tasapinnal. Märgime reale \(a\) punkti \(A\) ja joonistame \(AB\perp b\) ja \(AC\perp c\) . Siis \(\kolmnurk AOB=\kolmnurk AOC\) ristkülikukujulisena piki hüpotenuusi ja teravnurka. Seetõttu \(OB=OC\) ja \(AB=AC\) .
Teeme \(AH\perp (BOC)\) . Siis teoreemi järgi umbes kolm risti \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Kuna \(AB=AC\) , siis \(\kolmnurk AHB=\kolmnurk AHC\) ristkülikukujulisena piki hüpotenuusi ja jalga. Seetõttu \(HB=HC\) . See tähendab, et \(OH\) on nurga \(BOC\) poolitaja (kuna punkt \(H) on nurga külgedest võrdsel kaugusel).
Pange tähele, et sel viisil konstrueerisime ka joonte \(a\) ja \(c\) moodustatud tasapinnaga moodustatud kahetahulise nurga lineaarnurga ning joonte \(b\) ja \(c) moodustatud tasapinna \) . See on nurk \(ACH\) .
Leiame selle nurga. Kuna valisime punkti \(A\) suvaliselt, siis valime selle nii, et \(OA=2\) . Seejärel ristkülikukujuliselt \(\kolmnurk AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Kuna \(OH\) on poolitaja, siis \(\angle HOC=30^\circ\) ristkülikukujulises \(\kolmnurgas HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Seejärel ristkülikukujulisest \(\kolmnurgast ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Vastus: 3
Ülesanne 4 #2910
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
Tasapinnad \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) lõikuvad piki sirget \(l\), millel asuvad punktid \(M\) ja \(N\). Lõigud \(MA\) ja \(MB\) on risti sirgjoonega \(l\) ja asuvad vastavalt tasapindadel \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) ning \(MN = 15) \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Leidke \(3\cos\alpha\) , kus \(\alpha\) on nurk tasapindade \(\pi_1\) ja \(\pi_2\) vahel.
Kolmnurk \(AMN\) on täisnurkne, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), kust \ Kolmnurk \(BMN\) on täisnurkne, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), millest \Kirjutame kolmnurga \(AMB\) koosinusteoreemi: \ Siis \ Kuna tasapindadevaheline nurk \(\alpha\) on teravnurk ja \(\angle AMB\) osutus nüriks, siis \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Siis \
Vastus: 1.25
Ülesanne 5 #2911
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) on rööptahukas, \(ABCD\) on ruut küljega \(a\), punkt \(M\) on punktist \(A_1\) tasapinnale langetatud risti alus. ((ABCD)\) , lisaks on \(M\) ruudu \(ABCD\) diagonaalide lõikepunkt. On teada, et \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Leidke nurk tasapindade \((ABCD)\) ja \((AA_1B_1B)\) vahel. Esitage oma vastus kraadides.
Ehitame \(MN\) risti \(AB\)-ga, nagu on näidatud joonisel.
Kuna \(ABCD\) on ruut küljega \(a\) ja \(MN\perp AB\) ja \(BC\perp AB\) , siis \(MN\paralleel BC\) . Kuna \(M\) on ruudu diagonaalide lõikepunkt, siis \(M\) on \(AC\) keskpunkt, seega on \(MN\) keskjoon ja \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) on \(A_1N\) projektsioon tasapinnale \((ABCD)\) ja \(MN\) on risti \(AB\), siis kolme risti teoreemi järgi \ (A_1N\) on risti nurgaga \(AB \) ning tasapindade \((ABCD)\) ja \((AA_1B_1B)\) vaheline nurk on \(\nurk A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
Vastus: 60
Ülesanne 6 #1854
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
Ruudus \(ABCD\) : \(O\) – diagonaalide lõikepunkt; \(S\) – ei asu ruudu tasapinnal, \(SO \perp ABC\) . Leidke nurk tasapindade \(ASD\) ja \(ABC\) vahel, kui \(SO = 5\) ja \(AB = 10\) .
Täisnurksed kolmnurgad \(\kolmnurk SAO\) ja \(\kolmnurk SDO\) on kahes küljes võrdsed ja nendevaheline nurk (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , sest \(O\) – ruudu diagonaalide lõikepunkt, \(SO\) – ühine külg) \(\Paremnool\) \(AS = SD\) \(\Paremnool\) \(\kolmnurk ASD\ ) – võrdhaarne. Punkt \(K\) on \(AD\) keskpunkt, siis \(SK\) on kolmnurga \(\kolmnurk ASD\) kõrgus ja \(OK\) on kolmnurga kõrgus \( AOD\) \(\ Paremnool\) tasapind \(SOK\) on risti tasapindadega \(ASD\) ja \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – lineaarnurk, mis võrdub soovitud kahetahuline nurk.
In \(\kolmnurk SKO\): \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\kolmnurk SOK\) – võrdhaarne täisnurkne kolmnurk \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .
Vastus: 45
Ülesanne 7 #1855
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
Ruudus \(ABCD\) : \(O\) – diagonaalide lõikepunkt; \(S\) – ei asu ruudu tasapinnal, \(SO \perp ABC\) . Leidke nurk tasapindade \(ASD\) ja \(BSC\) vahel, kui \(SO = 5\) ja \(AB = 10\) .
Täisnurksed kolmnurgad \(\kolmnurk SAO\) , \(\kolmnurk SDO\) , \(\kolmnurk SOB\) ja \(\kolmnurk SOC\) on kahes küljes võrdsed ja nendevaheline nurk (\(SO \perp ABC) \) \(\Paremnool\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), sest \(O\) – ruudu diagonaalide lõikepunkt, \(SO\) – ühine külg) \(\Paremnool\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Paremnool\) \( \kolmnurk ASD\) ja \(\kolmnurk BSC\) on võrdhaarsed. Punkt \(K\) on \(AD\) keskpunkt, siis \(SK\) on kolmnurga \(\kolmnurk ASD\) kõrgus ja \(OK\) on kolmnurga kõrgus \( AOD\) \(\ Paremnool\) tasand \(SOK\) on risti tasapinnaga \(ASD\) . Punkt \(L\) on \(BC\) keskpunkt, siis \(SL\) on kolmnurga \(\kolmnurk BSC\) kõrgus ja \(OL\) on kolmnurga kõrgus \( BOC\) \(\ Paremnool\) tasapind \(SOL\) (teise nimega tasapind \(SOK\)) on risti tasapinnaga \(BSC\) . Seega saame, et \(\angle KSL\) on lineaarnurk, mis võrdub soovitud kahetahulise nurgaga.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Paremnool\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – kõrgused võrdsetes võrdhaarsetes kolmnurkades, mille saab leida Pythagorase teoreemi abil: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Võib märgata, et \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Paremnool\) kolmnurga \(\kolmnurk KSL\) Pythagorase pöördteoreem kehtib \(\Rightarrow\) \(\kolmnurk KSL\) – täisnurkne kolmnurk \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ ring\) .
Vastus: 90
Õpilaste ettevalmistamine matemaatika ühtse riigieksami sooritamiseks algab reeglina põhivalemite kordamisega, sealhulgas nende, mis võimaldavad teil määrata tasapindadevahelise nurga. Vaatamata sellele, et see geomeetria osa on kooli õppekavas piisavalt üksikasjalikult käsitletud, peavad paljud lõpetajad algmaterjali kordama. Mõistes tasapindade vahelise nurga leidmist, saavad keskkooliõpilased ülesande lahendamisel kiiresti õige vastuse välja arvutada ja loota ühtse riigieksami sooritamise tulemuste kohta korralike hinnete saamisele.
Peamised nüansid
Tagamaks, et kahetahulise nurga leidmise küsimus ei tekitaks raskusi, soovitame järgida lahendusalgoritmi, mis aitab teil ühtse riigieksami ülesannetega toime tulla.
Kõigepealt peate määrama sirge, mida mööda tasapinnad ristuvad.
Seejärel peate sellel joonel valima punkti ja tõmbama sellele kaks risti.
Järgmise sammuna tuleb leida ristide moodustatud kahetahulise nurga trigonomeetriline funktsioon. Kõige mugavam on seda teha saadud kolmnurga abil, mille osaks on nurk.
Vastuseks on nurga väärtus või selle trigonomeetriline funktsioon.
Shkolkovoga eksamitestiks valmistumine on teie edu võti
Ühtse riigieksami sooritamise eelõhtul toimuvate tundide ajal seisavad paljud kooliõpilased silmitsi definitsioonide ja valemite leidmise probleemiga, mis võimaldavad neil arvutada kahe tasapinna vahelise nurga. Kooliõpik pole alati täpselt siis, kui vaja, käepärast. Ja selleks, et leida vajalikke valemeid ja näiteid nende õigeks rakendamiseks, sealhulgas Internetis lennukitevahelise nurga leidmiseks, peate mõnikord kulutama palju aega.
Shkolkovo matemaatikaportaal pakub uut lähenemist riigieksamiks valmistumisel. Meie veebisaidi tunnid aitavad õpilastel tuvastada enda jaoks kõige raskemad lõigud ja täita teadmistes lünki.
Oleme koostanud ja selgelt esitanud kogu vajaliku materjali. Peamised määratlused ja valemid on esitatud jaotises "Teoreetiline teave".
Materjali paremaks mõistmiseks soovitame harjutada ka vastavaid harjutusi. Jaotises "Kataloog" on esitatud suur valik erineva keerukusega ülesandeid, näiteks sisse lülitatud. Kõik ülesanded sisaldavad üksikasjalikku algoritmi õige vastuse leidmiseks. Kodulehel olev harjutuste nimekiri täieneb ja täieneb pidevalt.
Kahe tasapinna vahelise nurga leidmist nõudvate ülesannete lahendamist harjutades on õpilastel võimalus salvestada kõik ülesanded veebis lemmikutena. Tänu sellele saavad nad selle juurde tagasi pöörduda vajalik arv kordi ja arutada selle lahenduse edenemist kooliõpetaja või juhendajaga.
Mõned kõige lihtsamad ruumifiguurid on hulktahulised nurgad.
Dihedraalnurk on kujund, mille moodustavad kaks pooltasapinda, millel on ühine sirgjoon, mis neid piirab. Pooltasapindu nimetatakse nurga tahkudeks ja ühist sirgjoont nurga servaks. Kahenurga aste on vastava lineaarnurga mõõt.
Kahenurga joonnurk on nurk, mille moodustavad kaks pooljoont, mida mööda kahetahulise nurga servaga risti olev tasapind lõikub antud kahetahulise nurgaga. Dihedraalnurga mõõt ei sõltu lineaarnurga valikust.
Kolmnurkne nurk on kujund, mis koosneb kolmest lamenurgast.
Kolmnurkse nurga tahud on tasapinnalised nurgad, servad on tasapinna nurga küljed ja kolmnurknurga tipp on tasapinna nurkade ühine tipp.
Kolmnurkse nurga tahkude poolt moodustatud kahetahulisi nurki nimetatakse kolmiknurga kahetahulisteks nurkadeks.
Kolmnurkse nurga iga tasapinna nurk on väiksem kui selle kahe teise tasapinna nurga summa.
Hulktahukas on keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest.
Hulktahuka tahk on iga tasase hulknurga pind.
Hulktahu servad on tahkude küljed, hulktahuka tipud tahkude tipud.
Hulktahuka serva kahetahulise nurga määravad selle tahud, milles see serv asub.
Kumer hulktahukas on see, mis asub oma pinnal oleva tasapinnalise hulknurga tasapinna ühel küljel.
Kumera hulktahuka iga tahk on kumer hulknurk. Kumera hulktahuka sisepunkti läbiv tasapind lõikub sellega ja moodustab ristlõikes kumera hulknurga.
See on huvitav. Üks geomeetria osadest moodustas omaette teaduse nimega topoloogia. Ta uurib figuuride topoloogilisi omadusi, st neid, mis salvestatakse kujundite pideva deformatsiooni ajal "ilma katkestuste ja liimimiseta".
Suure matemaatiku, füüsiku ja astronoomi Euleri teoreem sõnastab polühedra topoloogilise omaduse: iga kumera hulktahuka jaoks on selle tippude ja tahkude arvu summa, arvestamata selle servade arvu. võrdne arvuga 2.
Stereomeetria
Peatükk 9. Jooned ja tasandid ruumis
9.8. Dihedraalnurk ja selle lineaarnurk
Tasapind on jagatud selles oleva joonega kaheks pooltasandiks.
Definitsioon 1
Figuuri, mille moodustavad kaks ühest sirgest väljuvat pooltasapinda koos nende pooltasanditega piiratud ruumiosaga, nimetatakse kahetahuliseks nurgaks. Pooltasapindu nimetatakse tahkudeks ja nende ühist sirget nimetatakse kahetahulise nurga servaks.
Kahenurga küljed jagavad ruumi kaheks piirkonnaks: antud kahetahulise nurga sisemine piirkond ja selle välimine piirkond.
2. definitsioon
Väidetavalt on kaks kahetahulist nurka võrdsed, kui ühte neist saab kombineerida teisega nii, et nende sisemised piirkonnad on joondatud.
3. definitsioon
Kahe kahetahulise nurga servaga risti asetsevat nurka, mis on tõmmatud selle servadest ühest serva punktist, nimetatakse kahetahulise nurga lineaarnurgaks.
1 . Nurk (), mis saadakse kahetahulise nurga lõikamisel selle servaga risti oleva tasapinnaga, on antud kahetahulise nurga lineaarnurk.
2. Lineaarnurga suurus ei sõltu selle tipu asukohast serval, s.t.
3. Võrdsete kahetahuliste nurkade lineaarnurgad on võrdsed (tuleneb definitsioonidest 2 ja 3).
4. definitsioon
Kahest kahetahulisest nurgast nimetatakse seda, millel on suurem (väiksem) lineaarnurk, suuremaks (väiksemaks). Kahenurksete nurkade mõõtühikud on need kahetahulised nurgad, mille lineaarnurgad on võrdsed
