GIA. Ruutfunktsioon
Vaatleme avaldist kujul ax 2 + bx + c, kus a, b, c on reaalarvud ja a erineb nullist. Seda matemaatilist avaldist tuntakse ruuttrinoomina.
Tuletame meelde, et ax 2 on selle ruuttrinoomi juhtliige ja a on selle juhtiv koefitsient.
Kuid ruuttrinoomil ei ole alati kõiki kolme liiget. Võtame näiteks avaldise 3x 2 + 2x, kus a=3, b=2, c=0.
Liigume ruutfunktsiooni y=ax 2 +in+c juurde, kus a, b, c on suvalised arvud. See funktsioon on ruutfunktsioon, kuna see sisaldab teise astme liiget, st x ruudus.
Ruutfunktsiooni graafiku koostamine on üsna lihtne, näiteks võite kasutada täiusliku ruudu eraldamise meetodit.
Vaatleme näidet funktsiooni y graafiku koostamise kohta -3x 2 - 6x + 1.
Selleks meenub esimene asi, mis meenub skeemi täisruudu eraldamiseks trinoomil -3x 2 - 6x + 1.
Võtame kahe esimese liikme jaoks sulgudest -3. Meil on -3 korda summa x ruudus pluss 2x ja liidetakse 1. Sulgudes ühe liites ja lahutades saame summa ruudu valemi, mille saab ahendada. Saame -3 korrutatuna summa (x+1) ruuduga miinus 1 liidame 1. Sulgude avamisel ja sarnaste terminite liitmisel saame avaldise: -3 korrutatuna summa ruuduga (x+1) liidame 4.
Koostame saadud funktsiooni graafiku, liikudes abikoordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on koordinaatidega punktis (-1; 4).
Video joonisel on see süsteem tähistatud punktiirjoontega. Seome funktsiooni y võrdub -3x2 konstrueeritud koordinaatsüsteemiga. Mugavuse huvides võtame kontrollpunktid. Näiteks (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Samal ajal jätame need konstrueeritud koordinaatsüsteemis kõrvale. Ehitamise käigus saadud parabool on meile vajalik graafik. Pildil on see punane parabool.
Täieliku ruudu eraldamise meetodit kasutades saame ruutfunktsiooni kujul: y = a*(x+1) 2 + m.
Parabooli y = ax 2 + bx + c graafiku saab hõlpsasti paralleeltõlke abil saada paraboolist y = ax 2. Seda kinnitab teoreem, mida saab tõestada binoomide täiusliku ruudu eraldamisega. Avaldis ax 2 + bx + c muutub pärast järjestikuseid teisendusi avaldiseks kujul: a*(x+l) 2 + m. Joonistame graafiku. Teeme parabooli y = ax 2 paralleelse liikumise, joondades tipu koordinaatidega (-l; m) punktiga. Oluline on see, et x = -l, mis tähendab -b/2a. See tähendab, et see sirgjoon on parabooli telg 2 + bx + c, selle tipp on punktis, mille abstsiss x null võrdub miinus b jagatud 2a-ga ja ordinaat arvutatakse tülika valemi 4ac - b 2 abil. /. Kuid te ei pea seda valemit meeles pidama. Kuna funktsiooni abstsissi väärtuse asendamisel saame ordinaat.
Telje võrrandi, selle harude suuna ja parabooli tipu koordinaatide määramiseks vaatleme järgmist näidet.
Võtame funktsiooni y = -3x 2 - 6x + 1. Olles koostanud parabooli telje võrrandi, saame, et x = -1. Ja see väärtus on parabooli tipu x koordinaat. Jääb üle vaid leida ordinaat. Asendades funktsiooni väärtuse -1, saame 4. Parabooli tipp asub punktis (-1; 4).
Funktsiooni y = -3x 2 - 6x + 1 graafik saadi funktsiooni y = -3x 2 graafiku paralleelsel ülekandel, mis tähendab, et see käitub sarnaselt. Juhtkoefitsient on negatiivne, nii et oksad on suunatud allapoole.
Näeme, et mis tahes funktsiooni kujul y = ax 2 + bx + c on kõige lihtsam küsimus viimane küsimus ehk parabooli harude suund. Kui koefitsient a on positiivne, siis on oksad ülespoole ja kui negatiivsed, siis oksad on allapoole.
Järgmine kõige keerulisem küsimus on esimene küsimus, kuna see nõuab täiendavaid arvutusi.
Ja teine on kõige keerulisem, kuna lisaks arvutustele on vaja ka teadmisi valemitest, mille järgi x on null ja y on null.
Koostame funktsiooni y = 2x 2 - x + 1 graafiku.
Teeme kohe kindlaks, et graafik on parabool, oksad on suunatud ülespoole, kuna juhtiv koefitsient on 2 ja see on positiivne arv. Valemit kasutades leiame, et abstsiss x on null, see on võrdne 1,5-ga. Ordinaadi leidmiseks pidage meeles, et y null võrdub funktsiooniga 1,5, arvutamisel saame -3,5.
Ülemine - (1,5;-3,5). Telg – x=1,5. Võtame punktid x=0 ja x=3. y=1. Märgime need punktid ära. Kolme teadaoleva punkti põhjal koostame soovitud graafiku.
Funktsiooni ax 2 + bx + c graafiku joonistamiseks vajate:
Leia parabooli tipu koordinaadid ja märgi need joonisele, seejärel joonista parabooli telg;
Oh-teljel võetakse kaks punkti, mis on sümmeetrilised parabooli telje suhtes, leidke nendes punktides funktsiooni väärtus ja märkige need koordinaattasandile;
Ehitage parabool läbi kolme punkti, vajadusel võite võtta veel mitu punkti ja koostada nende põhjal graafiku.
Järgmises näites õpime, kuidas leida segmendis funktsiooni -2x 2 + 8x - 5 suurimaid ja väikseimaid väärtusi.
Algoritmi järgi: a=-2, b=8, mis tähendab, et x null on 2 ja y null on 3, (2;3) on parabooli tipp ja x=2 on telg.
Võtame väärtused x=0 ja x=4 ning leiame nende punktide ordinaadid. See on -5. Koostame parabooli ja määrame, et funktsiooni väikseim väärtus on -5, kui x=0 ja suurim on 3, kui x=2.
Nagu praktika näitab, põhjustavad ruutfunktsiooni omaduste ja graafikute ülesanded tõsiseid raskusi. See on üsna kummaline, sest nad uurivad ruutfunktsiooni 8. klassis ja siis kogu 9. klassi esimese veerandi “piinavad” parabooli omadusi ja koostavad selle graafikuid erinevate parameetrite jaoks.
Selle põhjuseks on asjaolu, et sundides õpilasi paraboole konstrueerima, ei pühenda nad praktiliselt aega graafikute “lugemisele”, st ei harjuta pildilt saadava teabe mõistmist. Ilmselt eeldatakse, et pärast tosina-kahe graafiku koostamist avastab ja sõnastab tark õpilane ise valemis olevate koefitsientide ja graafiku välimuse vahelise seose. Praktikas see ei toimi. Selliseks üldistamiseks on vaja tõsist matemaatilise mini-uurimuse kogemust, mida enamikul üheksanda klassi õpilastel muidugi pole. Vahepeal teeb Riigiinspektsioon ettepaneku määrata koefitsientide märgid graafiku alusel.
Me ei nõua koolilastelt võimatut ja pakume lihtsalt välja ühe selliste probleemide lahendamise algoritmidest.
Niisiis, vormi funktsioon y = ax 2 + bx + c nimetatakse ruutkeskseks, selle graafik on parabool. Nagu nimigi ütleb, on peamine termin kirves 2. See on A ei tohiks olla võrdne nulliga, ülejäänud koefitsiendid ( b Ja Koos) võib olla võrdne nulliga.
Vaatame, kuidas mõjutavad selle koefitsientide märgid parabooli välimust.
Lihtsaim sõltuvus koefitsiendile A. Enamik koolilapsi vastab enesekindlalt: „kui A> 0, siis on parabooli harud suunatud ülespoole ja kui A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
Sel juhul A = 0,5
Ja nüüd selleks A < 0:
y = – 0,5 x 2 – 3 x + 1
Sel juhul A = - 0,5
Koefitsiendi mõju Koos Seda on ka üsna lihtne jälgida. Kujutame ette, et tahame leida funktsiooni väärtuse punktis X= 0. Asendage valemis null:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Selgub, et y = c. See on Koos on parabooli ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Tavaliselt on seda punkti graafikult lihtne leida. Ja määrake, kas see on üle nulli või alla selle. See on Koos> 0 või Koos < 0.
Koos > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Koos < 0
y = x 2 + 4x - 3
Vastavalt sellele, kui Koos= 0, siis läbib parabool tingimata lähtepunkti:
y = x 2 + 4x
Parameetriga keerulisem b. See, millal me selle leiame, ei sõltu mitte ainult sellest b aga ka alates A. See on parabooli tipp. Selle abstsiss (telje koordinaat X) leitakse valemiga x in = - b/(2a). Seega b = - 2ax tolli. See tähendab, et me toimime järgmiselt: leiame graafikult parabooli tipu, määrame selle abstsissi märgi, see tähendab, et vaatame nullist paremale ( x sisse> 0) või vasakule ( x sisse < 0) она лежит.
See pole aga veel kõik. Samuti peame tähelepanu pöörama koefitsiendi märgile A. See tähendab, et vaadake, kuhu on suunatud parabooli harud. Ja alles pärast seda valemi järgi b = - 2ax tolli määrake märk b.
Vaatame näidet:
Oksad on suunatud ülespoole, mis tähendab A> 0, parabool lõikub teljega juures alla nulli, see tähendab Koos < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sisse> 0. Niisiis b = - 2ax tolli = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Koos < 0.
Halb õpetaja esitab tõe, hea õpetaja õpetab, kuidas seda kätte saada.
A. Disterweg
Õpetaja: Netikova Margarita Anatoljevna, matemaatikaõpetaja, GBOU kool nr 471, Peterburi Viiburi rajoon.
Tunni teema: “Funktsiooni graafiky= kirves 2 »
Tunni tüüp:õppetund uute teadmiste õppimiseks.
Sihtmärk:õpetada õpilasi funktsiooni graafikut koostama y= kirves 2 .
Ülesanded:
Hariduslik: arendada parabooli konstrueerimise oskust y= kirves 2 ja luua muster funktsiooni graafiku vahel y= kirves 2
ja koefitsient A.
Hariduslik: kognitiivsete oskuste, analüütilise ja võrdleva mõtlemise, matemaatilise kirjaoskuse, üldistus- ja järelduste tegemise oskuse arendamine.
Koolitajad: aine vastu huvi kasvatamine, täpsus, vastutustunne, nõudlikkus enda ja teiste suhtes.
Planeeritud tulemused:
Teema: oskama valemiga määrata parabooli harude suunda ja tabeli abil konstrueerida.
Isiklik: oskama oma seisukohta kaitsta ning töötada paaris ja meeskonnas.
Metasubjekt: oskama planeerida ja hinnata oma tegevuse protsessi ja tulemust, töödelda informatsiooni.
Pedagoogilised tehnoloogiad: probleemipõhise ja süvaõppe elemendid.
Varustus: interaktiivne tahvel, arvuti, jaotusmaterjalid.
1. Ruutvõrrandi juurte valem ja ruuttrinoomi faktoriseerimine.
2. Algebraliste murdude taandamine.
3. Funktsiooni omadused ja graafik y= kirves 2 , parabooli harude suuna, selle "venitamise" ja "kokkusurumise" sõltuvus koefitsiendist piki ordinaattelge a.
Tunni struktuur.
1.Korralduslik osa.
2. Teadmiste värskendamine:
Kodutööde kontrollimine
Suuline töö valminud jooniste põhjal
3.Iseseisev töö
4.Uue materjali selgitus
Uue materjali õppimiseks valmistumine (probleemsituatsiooni tekitamine)
Uute teadmiste esmane assimilatsioon
5. Kinnitus
Teadmiste ja oskuste rakendamine uues olukorras.
6. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.
7.Kodutöö.
8. Tunni refleksioon.
9. klassi algebratunni tehnoloogiline kaart teemal: „Funktsiooni graafiky=
kirves 2
»
| Õppetunni sammud | Lavaülesanded | Õpetaja tegevus | Õpilaste tegevused | UUD |
| 1.Korralduslik osa 1 minut | Tunni alguses töömeeleolu loomine | Tervitab õpilasi kontrollib nende ettevalmistust tunniks, märgib ära puudujad, kirjutab kuupäeva tahvlile. | Tunnis tööks valmistumine, õpetaja tervitamine | Regulatiivne: õppetegevuse korraldamine. |
| 2.Teadmiste uuendamine 4 minutit | Kontrollige kodutööd, korrake ja tehke kokkuvõte eelnevates tundides õpitud materjalist ning looge tingimused edukaks iseseisvaks tööks. | Kogub kuuelt õpilaselt (igast reast valikuliselt kaks) vihikuid, et kontrollida kodutöö hindamiseks (1. lisa), seejärel töötab klassiga interaktiivsel tahvlil (2. lisa). | Kuus õpilast annavad kontrollimiseks oma kodutööde vihikud ja vastavad seejärel esiotsa küsitluse küsimustele. (2. lisa). | Kognitiivne: teadmiste süsteemi toomine. Kommunikatiivne: oskus kuulata teiste arvamusi. Regulatiivne: oma tegevuse tulemuste hindamine. Isiklik: materjali valdamise taseme hindamine. |
| 3.Iseseisev töö 10 minutit | Testige oma võimet arvutada ruuttrinoomi, vähendada algebralisi murde ja kirjeldada funktsioonide mõningaid omadusi nende graafiku abil. | Jagab õpilastele individuaalsete diferentseeritud ülesannetega kaarte (3. lisa). ja lahenduslehed. | Nad sooritavad iseseisvat tööd, valides iseseisvalt punktide alusel harjutuste raskusastme. | Kognitiivne: Isiklik: materjali valdamise taseme ja oma võimaluste hindamine. |
| 4.Uue materjali selgitus Ettevalmistus uue materjali õppimiseks Uute teadmiste esmane assimilatsioon | Soodsa keskkonna loomine probleemsest olukorrast väljumiseks, uue materjali tajumine ja mõistmine, sõltumatu õigele järeldusele jõudmas | Niisiis, teate, kuidas funktsiooni graafikut koostada y= x 2 (graafikud on ette ehitatud kolmele tahvlile). Nimetage selle funktsiooni peamised omadused: 3. Tipukoordinaadid 5. Monotoonsuse perioodid Mille jaoks on antud juhul koefitsient? x 2 ? Ruuttrinoomi näitel nägite, et see pole üldse vajalik. Mis märk ta võiks olla? Too näiteid. Peate ise välja selgitama, millised näevad välja teiste koefitsientidega paraboolid. Parim viis õppimiseks midagi tuleb endal avastada. D.Poya Jagame kolmeks meeskonnaks (ridades), valime kaptenid, kes tulevad lauale. Võistkondadele kirjutatakse ülesanne kolmele tahvlile, võistlus algab! Koostage funktsioonigraafikud ühes koordinaatsüsteemis 1 meeskond: a)y=x 2 b)y= 2x 2 c)y= x 2 Meeskond 2: a)y= - x 2 b)y= -2x 2 c)y= - x 2 Meeskond 3: a)y=x 2 b)y=4x 2 c)y=-x 2 Missioon täidetud! (4. lisa). Otsige funktsioone, millel on samad omadused. Kaptenid konsulteerivad oma meeskondadega. Millest see oleneb? Aga kuidas need paraboolid erinevad ja miks? Mis määrab parabooli “paksuse”? Mis määrab parabooli harude suuna? Me nimetame graafikut a) tavapäraselt "esialgseks". Kujutage ette kummipaela: kui seda venitada, muutub see õhemaks. See tähendab, et graafik b) saadi esialgse graafiku piki ordinaati venitades. Kuidas saadi graafik c)? Niisiis, millal x 2 võib olla mis tahes koefitsient, mis mõjutab parabooli konfiguratsiooni. See on meie tunni teema: "Funktsiooni graafiky= kirves 2 » | 1. R 4. Hargneb üles 5. Väheneb (- Suureneb võrra )  |
